Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(a)
, onde
é o círculo com centro na origem e raio 2 .
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função
ao longo de um caminho
, que é um círculo com centro na origem e raio 2. O conteúdo nesse caso é a integral de linha e o Teorema de Green, que nos ajuda a calcular integrais de linha mais facilmente em certas condições. Para resolver, precisamos lembrar da definição de integral de linha e como aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro método: calcular a integral de linha diretamente. Para realizar a integral de linha, precisamos parametrizar o caminho
. Para um círculo de raio 2, podemos usar a seguinte parametrização:
Agora, precisamos calcular
e
. Derivando as expressões de
e
em relação a
, obtemos:
Agora, substituindo na integral:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. O primeiro termo fica:
E o segundo termo:
Juntando tudo, a integral se transforma em:
Reorganizando os termos, temos:
Sabendo que
, podemos simplificar mais:
Passo 4
Agora vamos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green diz que, se temos uma função
, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
contida pelo caminho
. O teorema é dado por:
Nesse caso, temos
e
. Calculando as derivadas:
Substituindo na integral, fica:
Como
é o círculo de raio 2, a área dele é:
Assim, a integral dupla se torna:
Resposta
Portanto, em ambos os métodos, a integral de linha que calculamos é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
© , onde
é o segmento de reta que liga
a
.
©
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(b) A parte do cilindro que se encontra entre os planos
e
.
(b) A parte do cilindro
Calcule: