Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(a) ointC(x-y) d x+(x+y) d y, onde C é o círculo com centro na origem e raio 2 .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função (x-y)dx + (x+y)dy ao longo de um caminho C, que é um círculo com centro na origem e raio 2. O conteúdo nesse caso é a integral de linha e o Teorema de Green, que nos ajuda a calcular integrais de linha mais facilmente em certas condições. Para resolver, precisamos lembrar da definição de integral de linha e como aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro método: calcular a integral de linha diretamente. Para realizar a integral de linha, precisamos parametrizar o caminho C. Para um círculo de raio 2, podemos usar a seguinte parametrização:
x(t) = 2cos(t), y(t) = 2sin(t), t in [0, 2pi]
Agora, precisamos calcular dx e dy. Derivando as expressões de x e y em relação a t, obtemos:
dx = -2sin(t) dt, dy = 2cos(t) dt
Agora, substituindo na integral:
ointC(x-y)dx + (x+y)dy = integral0^2pi((2cos(t) - 2sin(t))(-2sin(t)) + (2cos(t) + 2sin(t))(2cos(t)))dt

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. O primeiro termo fica:
(2cos(t) - 2sin(t))(-2sin(t)) = -4cos(t)sin(t) + 4sin^2(t)
E o segundo termo:
(2cos(t) + 2sin(t))(2cos(t)) = 4cos^2(t) + 4sin(t)cos(t)
Juntando tudo, a integral se transforma em:
integral0^2pi (-4cos(t)sin(t) + 4sin^2(t) + 4cos^2(t) + 4sin(t)cos(t)) dt
Reorganizando os termos, temos:
integral0^2pi (4sin^2(t) + 4cos^2(t)) dt
Sabendo que sin^2(t) + cos^2(t) = 1, podemos simplificar mais:
integral0^2pi 4 dt = 4 cdot (2pi - 0) = 8pi

Passo 4

Agora vamos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green diz que, se temos uma função F = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região R contida pelo caminho C. O teorema é dado por:
ointC P dx + Q dy = integral duplaR (partial Qpartial x - partial Ppartial y) dA
Nesse caso, temos P = x - y e Q = x + y. Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = -1
Substituindo na integral, fica:
integral duplaR (1 - (-1)) dA = integral duplaR 2 dA
Como R é o círculo de raio 2, a área dele é:
A = pi r^2 = pi(2^2) = 4pi
Assim, a integral dupla se torna:
integral duplaR 2 dA = 2 times 4pi = 8pi

Resposta

Portanto, em ambos os métodos, a integral de linha que calculamos é:
ointC(x-y)dx + (x+y)dy = 8pi

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