Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(a) , onde é o círculo com centro na origem e raio 2 .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função ao longo de um caminho , que é um círculo com centro na origem e raio 2. O conteúdo nesse caso é a integral de linha e o Teorema de Green, que nos ajuda a calcular integrais de linha mais facilmente em certas condições. Para resolver, precisamos lembrar da definição de integral de linha e como aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro método: calcular a integral de linha diretamente. Para realizar a integral de linha, precisamos parametrizar o caminho . Para um círculo de raio 2, podemos usar a seguinte parametrização:
Agora, precisamos calcular e . Derivando as expressões de e em relação a , obtemos:
Agora, substituindo na integral:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. O primeiro termo fica:
E o segundo termo:
Juntando tudo, a integral se transforma em:
Reorganizando os termos, temos:
Sabendo que , podemos simplificar mais:

Passo 4

Agora vamos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green diz que, se temos uma função , a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região contida pelo caminho . O teorema é dado por:
Nesse caso, temos e . Calculando as derivadas:
Substituindo na integral, fica:
Como é o círculo de raio 2, a área dele é:
Assim, a integral dupla se torna:

Resposta

Portanto, em ambos os métodos, a integral de linha que calculamos é:

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