Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(b) A parte do cilindro y^2+z^2=16 que se encontra entre os planos x=0 e x=5.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos representar parametrizadamente a parte do cilindro y^2+z^2=16 que está entre os planos x=0 e x=5. Essa parte do cilindro é uma superfície, e a matéria envolvida aqui é geometria analítica em 3D, onde estudamos superfícies e suas representações. Para resolver, utilizaremos parâmetros para descrever a superfície do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como podemos representar um cilindro. O cilindro circular pode ser descrito por suas equações paramétricas. No nosso caso, a equação y^2+z^2=16 representa um cilindro com raio 4, já que a raiz quadrada de 16 é 4. Agora, precisamos escolher um parâmetro para trabalhar. Para cilindros, costumamos usar o ângulo theta (em radianos) para representar as coordenadas y e z. Assim, fazemos:
  • y = 4 cos(theta)
  • z = 4 sin(theta)
Agora temos as equações para as coordenadas y e z do cilindro - isso vai nos ajudar a representar a superfície!

Passo 3

Agora, como queremos limitar essa parte do cilindro entre os planos x=0 e x=5, vamos adicionar a variável x na nossa parametrização. O valor de x pode variar entre 0 e 5. Portanto, podemos escrever:
  • x = x, onde 0 <= x <= 5
Assim, juntando tudo, teremos nossa representação parametrizada da superfície do cilindro:
x = x, y = 4 cos(theta), z = 4 sin(theta), onde theta varia de 0 a 2pi (para percorrer toda a volta do cilindro).

Resposta

A representação parametrizada para a parte do cilindro é:
x = x, y = 4 cos(theta), z = 4 sin(theta), com 0 <= x <= 5 e 0 <= theta < 2pi.

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