Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(b) A parte do cilindro
que se encontra entre os planos
e
.
(b) A parte do cilindro
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos representar parametrizadamente a parte do cilindro
que está entre os planos
e
. Essa parte do cilindro é uma superfície, e a matéria envolvida aqui é geometria analítica em 3D, onde estudamos superfícies e suas representações. Para resolver, utilizaremos parâmetros para descrever a superfície do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como podemos representar um cilindro. O cilindro circular pode ser descrito por suas equações paramétricas. No nosso caso, a equação
representa um cilindro com raio
, já que a raiz quadrada de
é
. Agora, precisamos escolher um parâmetro para trabalhar. Para cilindros, costumamos usar o ângulo
(em radianos) para representar as coordenadas
e
. Assim, fazemos:
Agora temos as equações para as coordenadas y e z do cilindro - isso vai nos ajudar a representar a superfície!
Passo 3
Agora, como queremos limitar essa parte do cilindro entre os planos
e
, vamos adicionar a variável
na nossa parametrização. O valor de
pode variar entre
e
. Portanto, podemos escrever:
-
, onde
Assim, juntando tudo, teremos nossa representação parametrizada da superfície do cilindro:
Resposta
A representação parametrizada para a parte do cilindro é:
,
,
, com
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(a) , onde
é o círculo com centro na origem e raio 2 .
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(a)
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
© , onde
é o segmento de reta que liga
a
.
©
Calcule:
Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
e
é o hemisfério
, de orientação ascendente.