Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(b) A parte do cilindro que se encontra entre os planos e .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos representar parametrizadamente a parte do cilindro que está entre os planos e . Essa parte do cilindro é uma superfície, e a matéria envolvida aqui é geometria analítica em 3D, onde estudamos superfícies e suas representações. Para resolver, utilizaremos parâmetros para descrever a superfície do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como podemos representar um cilindro. O cilindro circular pode ser descrito por suas equações paramétricas. No nosso caso, a equação representa um cilindro com raio , já que a raiz quadrada de é . Agora, precisamos escolher um parâmetro para trabalhar. Para cilindros, costumamos usar o ângulo (em radianos) para representar as coordenadas e . Assim, fazemos:
Agora temos as equações para as coordenadas y e z do cilindro - isso vai nos ajudar a representar a superfície!

Passo 3

Agora, como queremos limitar essa parte do cilindro entre os planos e , vamos adicionar a variável na nossa parametrização. O valor de pode variar entre e . Portanto, podemos escrever:
  • , onde
Assim, juntando tudo, teremos nossa representação parametrizada da superfície do cilindro:
, , , onde varia de a (para percorrer toda a volta do cilindro).

Resposta

A representação parametrizada para a parte do cilindro é:
, , , com e .

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Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(a) , onde é o círculo com centro na origem e raio 2 .
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
© , onde é o segmento de reta que liga a .
Calcule:
Use o Teorema de Stokes para calcular , para e é o hemisfério , de orientação ascendente.