Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau:
E uma condição inicial que diz que quando , o valor de é 1. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar identificar o coeficiente de e o termo que multiplica .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
Para isso, dividimos todos os termos por (já que ):
Então, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Como , podemos remover o valor absoluto:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação padrão pela :
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Agora, precisamos calcular a integral do lado direito. Vamos usar a integração por partes para :
Então, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Sabemos que , então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando tudo por :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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