Encontre a solução do problema de valor inicial dado. lt y^prime+(t+1) y=t y(ln (2))=1, t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau:
t cdot y' + (t + 1) cdot y = t
E uma condição inicial que diz que quando , o valor de é 1. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar identificar o coeficiente de e o termo que multiplica .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
y' + P(t) cdot y = Q(t)
Para isso, dividimos todos os termos por y' + ( t + 1t ) y = tt = 1 (já que y' + (1 + 1t) y = 1 ):
Então, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) , dt , que é dado por:
integral (1 + 1t) dt = integral 1 , dt + integral 1t , dt = t + ln|t|
Vamos calcular a integral de mu(t) = e^t + ln t = e^t cdot e^ln t = e^t cdot t = t e^t :
Como , podemos remover o valor absoluto:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação padrão pela t e^t cdot y' + t e^t (1 + 1t) y = t e^t cdot 1 :
t e^t y' + (t + 1) e^t y = t e^t
Simplificando:
ddt ( t e^t y ) = t e^t
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a integral ddt ( t e^t y ) dt = integral t e^t dt :
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C
A integral do lado esquerdo é simplesmente t e^t y = t e^t - e^t + C . Agora, precisamos calcular a integral do lado direito. Vamos usar a integração por partes para :
Então, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos para y = t e^t - e^t + Ct e^t = t - 1t + Ct e^t = 1 - 1t + Ct e^t :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 1 = 1 - 1ln 2 + Cln 2 cdot e^ln 2 :
1 = 1 - 1ln 2 + C2 ln 2
Sabemos que 0 = -1ln 2 + C2 ln 2 , então:
0 = -2 + C implies C = 2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando tudo por :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 1 - 1t + 2t e^t

Exercícios relacionados