Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau:
E uma condição inicial que diz que quando
, o valor de
é 1. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar identificar o coeficiente de
e o termo que multiplica
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
(já que
):
Então, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Como
, podemos remover o valor absoluto:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação padrão pela
:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Agora, precisamos calcular a integral do lado direito. Vamos usar a integração por partes para
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando tudo por
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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.
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(a)