Calcule a integral de linha
em que a interseção do cilindro com o plano .
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de uma curva. A integral dada é:
Aqui, é a curva onde o cilindro corta o plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . O cilindro dado pela equação é um cilindro circular de raio 1, deslocado 1 unidade no eixo . Para parametrizar essa curva, podemos usar coordenadas polares no plano .
Vamos definir um parâmetro que varia de a . Assim, temos:
Como o plano é , substituindo :
Portanto, a parametrização da curva fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é o diferencial de arco. Para isso, vamos calcular a derivada da vetor posição em relação a :
O diferencial de arco é dado pela norma dessa derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora vamos substituir na função da integral:
Assim, a integral original se transforma em:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
Sabemos que:
E para a segunda parte, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando cada integral:
Portanto:

Passo 6

Somando as duas partes:

Resposta

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