Calcule a integral de linha
integralC raiz1+4 x^2 d s
em que C a interseção do cilindro x^2+(y-1)^2=1 com o plano z=2 y.
Resp.: 6 pi

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de uma curva. A integral dada é:
integralC raiz1+4 x^2 , ds
Aqui, é a curva onde o cilindro corta o plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = costheta . O cilindro dado pela equação y - 1 = sintheta Rightarrow y = 1 + sintheta é um cilindro circular de raio 1, deslocado 1 unidade no eixo z = 2(1 + sintheta) = 2 + 2sintheta . Para parametrizar essa curva, podemos usar coordenadas polares no plano r(theta) = ( costheta, 1 + sintheta, 2 + 2sintheta ), theta in [0, 2pi] .
Vamos definir um parâmetro que varia de a . Assim, temos:
Como o plano é , substituindo :
Portanto, a parametrização da curva fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar r,'(theta) = ( -sintheta, costheta, 2costheta ) , que é o diferencial de arco. Para isso, vamos calcular a derivada da vetor posição ds = | r,'(theta) | dtheta = raiz (-sintheta)^2 + (costheta)^2 + (2costheta)^2 , dtheta em relação a ds = raiz sin^2theta + cos^2theta + 4cos^2theta , dtheta = raiz1 + 4cos^2theta , dtheta :
O diferencial de arco é dado pela norma dessa derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora vamos substituir raiz1 + 4x^2 = raiz1 + 4cos^2theta na função da integral:
integral0^2pi raiz1 + 4cos^2theta cdot raiz1 + 4cos^2theta , dtheta = integral0^2pi (1 + 4cos^2theta) , dtheta
Assim, a integral original se transforma em:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^2pi (1 + 4cos^2theta) , dtheta = integral0^2pi 1 , dtheta + 4integral0^2pi cos^2theta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
E para a segunda parte, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Então:
4integral0^2pi cos^2theta , dtheta = 4 cdot 12 integral0^2pi (1 + cos(2theta)) , dtheta = 2 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos(2theta) , dtheta ]
Calculando cada integral:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = 0
Portanto:
4integral0^2pi cos^2theta , dtheta = 2 cdot 2pi = 4pi

Passo 6

Somando as duas partes:
2pi + 4pi = 6pi

Resposta

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