Calcule a integral de linha
em que
a interseção do cilindro
com o plano
.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de uma curva. A integral dada é:
Aqui,
é a curva onde o cilindro
corta o plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. O cilindro dado pela equação
é um cilindro circular de raio 1, deslocado 1 unidade no eixo
. Para parametrizar essa curva, podemos usar coordenadas polares no plano
.
Vamos definir um parâmetro
que varia de
a
. Assim, temos:
Como o plano é
, substituindo
:
Portanto, a parametrização da curva
fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o diferencial de arco. Para isso, vamos calcular a derivada da vetor posição
em relação a
:
O diferencial de arco
é dado pela norma dessa derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora vamos substituir
na função da integral:
Assim, a integral original se transforma em:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Sabemos que:
E para a segunda parte, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando cada integral:
Portanto:
Passo 6
Somando as duas partes:
Resposta
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A função
possui um zero no intervalo
obtenha o valor aproximado da raiz, com
através do método da bisseção e responda quantas iterações foram necessárias.
Determine a raiz de
, partindo de
utilizando o método de Newton-Raphson, com precisão
.
Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva
e a densidade é
. Resp.: 84 .
Calcule a integral de linha
em que
é a curva parametrizada por
, com
. Resp.:
.