A função f(x) = 2^x - 3 x = 0 possui um zero no intervalo [0,1] obtenha o valor aproximado da raiz, com varepsilon < 10^(-1) através do método da bisseção e responda quantas iterações foram necessárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar onde ela cruza o eixo x, ou seja, onde . A gente vai usar o método da bisseção, que serve para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo específico. Vamos precisar do intervalo e queremos uma aproximação com erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente existe uma raiz no intervalo . Calculamos:
Como e têm sinais opostos ( ), pelo Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora vamos começar a aplicar o método da bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual subintervalo a raiz está, repetindo o processo até alcançarmos a precisão desejada.
Primeira Iteração:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Valor da função em c:
Como , a raiz está no intervalo .
Segunda Iteração:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Valor da função em c:
Aqui, , então a raiz está no intervalo .
Terceira Iteração:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Valor da função em c:
Como , a raiz está no intervalo .
Quarta Iteração:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Valor da função em c:
Agora, , então a raiz está no intervalo .

Resposta

Após 4 iterações, a raiz aproximada da função no intervalo com é aproximadamente .

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