Calcule a integral de linha
em que é a curva parametrizada por , com . Resp.: .

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha da função ao longo da curva parametrizada por e , onde varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a parametrização da curva para expressar a integral em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos , , e na integral original:

Passo 4

Substituímos e na expressão:

Passo 5

A integral fica então:
Essa expressão é bastante complicada para integrar diretamente, então vamos procurar simplificar ou verificar se a integral pode ser avaliada de outra maneira, talvez usando um potencial escalar.

Passo 6

Observamos que o campo dado pode ser um campo conservativo. Vamos verificar se existe uma função potencial tal que:
Integrando a primeira equação em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Comparando, temos:
Integrando :
Portanto, a função potencial é:

Passo 7

Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores de nos pontos finais da curva . Vamos encontrar nos pontos e .
Para :
Para :

Passo 8

A integral de linha então é:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva
e a densidade é . Resp.: 84 .
Calcule a integral de linha
em que a interseção do cilindro com o plano .
Resp.:
Calcule o comprimento da curva
Resp.: .
Calcule a integral
em que é segmento de reta que liga o ponto ao ponto . Resp.: .