Calcule a integral de linha
em que
é a curva parametrizada por
, com
. Resp.:
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha da função
ao longo da curva
parametrizada por
e
, onde
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a parametrização da curva para expressar a integral em termos de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
,
e
na integral original:
Passo 4
Substituímos
e
na expressão:
Passo 5
A integral fica então:
Essa expressão é bastante complicada para integrar diretamente, então vamos procurar simplificar ou verificar se a integral pode ser avaliada de outra maneira, talvez usando um potencial escalar.
Passo 6
Observamos que o campo dado
pode ser um campo conservativo. Vamos verificar se existe uma função potencial
tal que:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Comparando, temos:
Integrando
:
Portanto, a função potencial é:
Passo 7
Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores de
nos pontos finais da curva
. Vamos encontrar
nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 8
A integral de linha então é: