Calcule a integral de linha
integralC e^2 y d x+(1+2 x e^2 y) d y
em que C é a curva parametrizada por x=t e^t, y=1+sen(pi t2), com 0 <= t <= 1. Resp.: 1+e^5.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha da função ao longo da curva parametrizada por e , onde varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a parametrização da curva para expressar a integral em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de dxdt = ddt(t e^t) = e^t + t e^t = e^t(1 + t) e dydt = ddt(1 + sin(pi t2)) = pi2 cos(pi t2) em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos integralC e^2y , dx + (1 + 2x e^2y) , dy = integral0^1 [ e^2y(t) cdot dxdt + (1 + 2x(t) e^2y(t)) cdot dydt ] dt , , e na integral original:

Passo 4

Substituímos e^2y(t) = e^2(1 + sin(pi t2)) = e^2 cdot e^2 sin(pi t2) e 2x(t) e^2y(t) = 2 t e^t cdot e^2 cdot e^2 sin(pi t2) = 2 e^2 t e^t e^2 sin(pi t2) na expressão:

Passo 5

A integral fica então:
integral0^1 [ e^2 e^2 sin(pi t2) cdot e^t(1 + t) + (1 + 2 e^2 t e^t e^2 sin(pi t2)) cdot pi2 cos(pi t2) ] dt
Essa expressão é bastante complicada para integrar diretamente, então vamos procurar simplificar ou verificar se a integral pode ser avaliada de outra maneira, talvez usando um potencial escalar.

Passo 6

Observamos que o campo dado partial phipartial x = e^2y pode ser um campo conservativo. Vamos verificar se existe uma função potencial partial phipartial y = 1 + 2x e^2y tal que:
phi(x, y) = e^2y x + h(y)
partial phipartial y = 2 e^2y x + h'(y) = 1 + 2x e^2y
Integrando a primeira equação em relação a 2 e^2y x + h'(y) = 1 + 2x e^2y implies h'(y) = 1 :
h(y) = y + C
Agora, derivamos phi(x, y) = e^2y x + y em relação a :
Comparando, temos:
Integrando :
Portanto, a função potencial é:

Passo 7

Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores de x(0) = 0 cdot e^0 = 0 nos pontos finais da curva y(0) = 1 + sin(0) = 1 . Vamos encontrar phi(0, 1) = e^2 cdot 1 cdot 0 + 1 = 1 nos pontos x(1) = 1 cdot e^1 = e e y(1) = 1 + sin(pi2) = 1 + 1 = 2 .
Para phi(e, 2) = e^2 cdot 2 cdot e + 2 = e^4 cdot e + 2 = e^5 + 2 :
Para :

Passo 8

A integral de linha então é:
phi(e, 2) - phi(0, 1) = (e^5 + 2) - 1 = e^5 + 1

Resposta

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