Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva
gamma(t) = <6 t^2, 4 raiz(2) t^3, 3 t^4>; 0 <= t <= 1
e a densidade é rho(x, y, z) = 6 + |x|. Resp.: 84 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um pedaço de arame que segue uma curva descrita por uma função vetorial. A matéria envolvida é Cálculo, mais especificamente cálculo de integrais ao longo de curvas com função de densidade. Para resolver, a gente vai precisar entender como parametrizar a curva, calcular o comprimento do arame e aplicar a função de densidade para encontrar a massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa de um objeto ao longo de uma curva pode ser calculada usando a integral da densidade multiplicada pelo diferencial de comprimento. A fórmula geral é:
Aqui, é a parametrização da curva, rho(x, y, z) é a função de densidade, e é o comprimento do vetor derivada da curva.

Passo 3

Vamos identificar a parametrização da curva e seus limites. A curva é dada por:
Então, e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização :

Passo 5

Em seguida, calculamos a magnitude de , que é o diferencial de comprimento:
Podemos simplificar extraindo o fator comum:

Passo 6

Agora, vamos substituir a parametrização na função de densidade . Como , temos:

Passo 7

Pronto, agora colocamos tudo na fórmula da massa:
Vamos simplificar a expressão antes de integrar:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Resposta

A massa do pedaço de arame é 84 unidades de massa.

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