Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva
e a densidade é
. Resp.: 84 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um pedaço de arame que segue uma curva descrita por uma função vetorial. A matéria envolvida é Cálculo, mais especificamente cálculo de integrais ao longo de curvas com função de densidade. Para resolver, a gente vai precisar entender como parametrizar a curva, calcular o comprimento do arame e aplicar a função de densidade para encontrar a massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa de um objeto ao longo de uma curva pode ser calculada usando a integral da densidade multiplicada pelo diferencial de comprimento. A fórmula geral é:
Aqui,
é a parametrização da curva,
é a função de densidade, e
é o comprimento do vetor derivada da curva.
Passo 3
Vamos identificar a parametrização da curva e seus limites. A curva é dada por:
Então,
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a magnitude de
, que é o diferencial de comprimento:
Podemos simplificar extraindo o fator comum:
Passo 6
Agora, vamos substituir a parametrização na função de densidade
. Como
, temos:
Passo 7
Pronto, agora colocamos tudo na fórmula da massa:
Vamos simplificar a expressão antes de integrar:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Resposta
A massa do pedaço de arame é 84 unidades de massa.
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Calcule a integral de linha
em que
a interseção do cilindro
com o plano
.
Resp.:
Resp.:
A função
possui um zero no intervalo
obtenha o valor aproximado da raiz, com
através do método da bisseção e responda quantas iterações foram necessárias.
Calcule a integral de linha
em que
é a curva parametrizada por
, com
. Resp.:
.
Calcule o comprimento da curva
Resp.:
.