(1,0) Calcule a integral de linha integralC(x-y) d x+(x+y) d y onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o triângulo formado pelos vértices , e . Esse problema está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha e pode ser resolvido usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva . No nosso caso, o campo vetorial é .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (x + y)partial x = 1
partial Ppartial y = partial (x - y)partial y = -1
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região integral duplaD 2 , dA = 2 integral0^1 integral0^-2x + 2 dy , dx que é o triângulo com vértices integral0^-2x + 2 dy = (-2x + 2) - 0 = -2x + 2 , 2 integral0^1 (-2x + 2) , dx = 2 [ -x^2 + 2x ]0^1 = 2 ( -1 + 2 - 0 + 0 ) = 2 times 1 = 2 e . Vamos descrever em termos de e .
Para variando de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até a linha que liga a . A equação dessa linha é .
Então, a integral dupla fica:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integrando em relação a :

Resposta

A integral de linha vale 2.

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