Calcule a integral de linha onde é o triângulo com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o triângulo formado pelos vértices , e . Esse problema está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha e pode ser resolvido usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva . No nosso caso, o campo vetorial é .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região que é o triângulo com vértices , e . Vamos descrever em termos de e .
Para variando de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até a linha que liga a . A equação dessa linha é .
Então, a integral dupla fica:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integrando em relação a :

Resposta

A integral de linha vale 2.

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Seja , onde .
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