Calcule a integral de linha
onde
é o triângulo com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o triângulo formado pelos vértices
,
e
. Esse problema está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha e pode ser resolvido usando o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva
. No nosso caso, o campo vetorial é
.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
que é o triângulo com vértices
,
e
. Vamos descrever
em termos de
e
.
Para
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 até a linha que liga
a
. A equação dessa linha é
.
Então, a integral dupla fica:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integrando em relação a
:
Resposta
A integral de linha
vale 2.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
.
Determine se
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
Seja
, onde
.
Calcule
, onde
é qualquer caminho entre
e
.