Seja
, onde
.
Calcule
, onde
é qualquer caminho entre
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
definido no plano
. A questão nos pede para calcular a integral de linha
ao longo de qualquer caminho
que vai do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender se o campo vetorial
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Se
for conservativo, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, o que simplifica bastante nosso cálculo.
Passo 2
Vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para isso, sabemos que em um campo vetorial bidimensional
, o campo é conservativo se satisfizer a condição
. Vamos calcular essas derivadas parciais:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 3
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
Integrando
em relação a
:
Então, a função potencial é:
Passo 4
Agora que temos a função potencial
, podemos usar o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que nos diz que:
Vamos calcular
e
:
Resposta
A integral de linha é:
Exercícios relacionados
Seja
, onde
.
Determine se
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
Seja
, onde
.
Calcule
, sendo
a curva
, de
a
.