Seja , onde .
Calcule , onde é qualquer caminho entre e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido no plano . A questão nos pede para calcular a integral de linha ao longo de qualquer caminho que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender se o campo vetorial é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que . Se for conservativo, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, o que simplifica bastante nosso cálculo.

Passo 2

Vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Para isso, sabemos que em um campo vetorial bidimensional , o campo é conservativo se satisfizer a condição . Vamos calcular essas derivadas parciais:
Calculando :
Calculando :
Como , o campo vetorial é conservativo.

Passo 3

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Portanto:
Integrando em relação a :
Então, a função potencial é:

Passo 4

Agora que temos a função potencial , podemos usar o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que nos diz que:
Vamos calcular e :

Resposta

A integral de linha é:

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Calcule a integral de linha onde é o triângulo com vértices e .
Seja , onde .
Determine se é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
Calcule a integral de superfície para o campo vetorial sendo a parte do parabolóide que está acima do plano .
Seja , onde .
Calcule , sendo a curva , de a .