Seja F: R^2 R^2, onde F(x, y)=(3+2 x y) i+(x^2-3 y^2) j.
(0,5) Calcule integralC F cdot d r, onde C é qualquer caminho entre (1,0) e (8,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x^2 - 3y^2)j definido no plano R^2. A questão nos pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr ao longo de qualquer caminho C que vai do ponto (1, 0) até o ponto (8, 1). Para resolver isso, vamos precisar entender se o campo vetorial F é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial phi tal que nabla phi = F. Se F for conservativo, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, o que simplifica bastante nosso cálculo.

Passo 2

Vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Para isso, sabemos que em um campo vetorial bidimensional F = Pi + Qj, o campo é conservativo se satisfizer a condição partial Qpartial x = partial Ppartial y. Vamos calcular essas derivadas parciais:
P = 3 + 2xy, Q = x^2 - 3y^2
Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 - 3y^2) = 2x
Calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y(3 + 2xy) = 2x
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, o campo vetorial F é conservativo.

Passo 3

Como F é conservativo, existe uma função potencial phi(x, y) tal que:
partial phipartial x = P = 3 + 2xy
partial phipartial y = Q = x^2 - 3y^2
Vamos encontrar phi(x, y) integrando partial phipartial x em relação a x:
phi(x, y) = integral (3 + 2xy) , dx = 3x + x^2y + h(y)
Onde h(y) é uma função que depende apenas de y. Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a partial phipartial y:
partial phipartial y = x^2 + h'(y) = x^2 - 3y^2
Portanto:
x^2 + h'(y) = x^2 - 3y^2 implies h'(y) = -3y^2
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = -y^3 + C
Então, a função potencial é:
phi(x, y) = 3x + x^2y - y^3 + C

Passo 4

Agora que temos a função potencial phi(x, y) = 3x + x^2y - y^3, podemos usar o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que nos diz que:
integralC F cdot dr = phi(8, 1) - phi(1, 0)
Vamos calcular phi(8, 1) e phi(1, 0):
phi(8, 1) = 3(8) + (8)^2(1) - (1)^3 = 24 + 64 - 1 = 87
phi(1, 0) = 3(1) + (1)^2(0) - (0)^3 = 3 + 0 - 0 = 3

Resposta

A integral de linha é:
integralC F cdot dr = 87 - 3 = 84

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