Seja , onde .
Determine se é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar uma função potencial tal que o gradiente dela ( ) seja igual a . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se satisfaz duas condições principais:
  1. Existir uma função potencial tal que .
  2. O campo tem rotacional nulo, ou seja, a derivada cruzada (ou rotacional) do campo vetorial é zero.
No caso de campos em duas dimensões, a segunda condição se simplifica para verificar se , onde .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Como (ambas são ), o rotacional do campo é zero. Isso confirma que é um campo conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Para isso, integramos a componente em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que ao derivar em relação a , a derivada de seria zero.

Passo 5

Para determinar , vamos usar a outra componente do campo vetorial. Sabemos que:
Então,
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração. Podemos ignorar ou considerá-lo zero para simplificar.

Passo 6

Finalmente, substituímos na expressão de :
Podemos deixar a constante de fora, já que ela não afeta o gradiente. Portanto, a função potencial é:

Resposta

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Seja , onde .
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