Seja
, onde
.
Determine se
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar uma função potencial
tal que o gradiente dela (
) seja igual a
. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se satisfaz duas condições principais:
- Existir uma função potencial
tal que . - O campo tem rotacional nulo, ou seja, a derivada cruzada (ou rotacional) do campo vetorial é zero.
No caso de campos em duas dimensões, a segunda condição se simplifica para verificar se
, onde
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Como
(ambas são
), o rotacional do campo é zero. Isso confirma que
é um campo conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos a componente
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao derivar
em relação a
, a derivada de
seria zero.
Passo 5
Para determinar
, vamos usar a outra componente do campo vetorial. Sabemos que:
Então,
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Podemos ignorar
ou considerá-lo zero para simplificar.
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Podemos deixar a constante
de fora, já que ela não afeta o gradiente. Portanto, a função potencial é:
Resposta
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Seja
, onde
.
Calcule
, onde
é qualquer caminho entre
e
.