Através do Teorema de Green calcule , onde é a fronteira de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é , e a curva é a fronteira da região que é entre dois círculos de raios 1 e 2, mas apenas na parte de cima (onde ). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma integrais de linha em integrais duplas, facilitando nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla . A região é a parte superior do anel entre os círculos de raio 1 e 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Em coordenadas polares, o elemento de área vira .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como está entre os círculos de raio 1 e 2, temos . E como só estamos na parte de cima, , o ângulo varia de a .
Então, a integral torna-se:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Resolvendo a integral em :

Resposta

Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é .

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Determine o trabalho feito pelo campo de força , ao mover uma partícula ao longo a curva .
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Calcule a integral de linha onde é o triângulo com vértices e .