Através do Teorema de Green calcule
, onde
é a fronteira de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é
, e a curva
é a fronteira da região
que é entre dois círculos de raios 1 e 2, mas apenas na parte de cima (onde
). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma integrais de linha em integrais duplas, facilitando nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
pode ser convertida em uma integral dupla sobre
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla
. A região
é a parte superior do anel entre os círculos de raio 1 e 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Em coordenadas polares, o elemento de área
vira
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como
está entre os círculos de raio 1 e 2, temos
. E como só estamos na parte de cima,
, o ângulo
varia de
a
.
Então, a integral torna-se:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Resolvendo a integral em
:
Resposta
Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
.
Determine se
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.