(1,5) Através do Teorema de Green calcule ointC y^2 d x+3 x y d y, onde C é a fronteira de D=(x, y) in R^2: 1 <= x^2+y^2 <= 4, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é ointC y^2 dx + 3xy, dy, e a curva C é a fronteira da região D que é entre dois círculos de raios 1 e 2, mas apenas na parte de cima (onde y >= 0). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma integrais de linha em integrais duplas, facilitando nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada C que delimita uma região D, a integral de linha ointC P, dx + Q, dy pode ser convertida em uma integral dupla sobre D:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx, dy
No nosso caso, P = y^2 e Q = 3xy.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (3xy) = 3y
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD (3y - 2y) dx, dy = integral duplaD y, dx, dy

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD y, dx, dy. A região D é a parte superior do anel entre os círculos de raio 1 e 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Em coordenadas polares, o elemento de área dx, dy vira r, dr, dtheta.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como D está entre os círculos de raio 1 e 2, temos 1 <= r <= 2. E como só estamos na parte de cima, y >= 0, o ângulo theta varia de 0 a pi.
Então, a integral torna-se:
integral0^pi integral1^2 (rsintheta) cdot r, dr, dtheta = integral0^pi integral1^2 r^2sintheta, dr, dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em r:
integral1^2 r^2, dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73
Agora, nossa integral fica:
73 integral0^pi sintheta, dtheta

Passo 7

Resolvendo a integral em theta:
integral0^pi sintheta, dtheta = [ -costheta ]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2

Resposta

Multiplicando os resultados:
73 times 2 = 143
Então, o valor da integral é 143.

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