Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha. Basicamente, queremos somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a curva é definida por , , para entre 0 e 2. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a parametrização da curva como um vetor posição :
Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 2, temos um ponto na curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é :
Essa derivada nos dá a direção e a velocidade com que percorremos a curva à medida que varia.
Passo 4
Em seguida, vamos substituir a parametrização na função vetorial :
Aqui, substituímos , e pelas suas respectivas expressões em termos de .
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Vamos simplificar cada termo:
Então, temos:
Passo 6
Agora, configuramos a integral de linha como uma integral comum em termos de de 0 a 2:
Isso significa que vamos integrar essa expressão polinomial no intervalo especificado.