Calcule a integral de linha integralmathscrC(x^2+y, y z, x+3 y) cdot d r, onde mathscrC é a curva
mathscrC: x=t, y=t^2, z=t^3, t in[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha. Basicamente, queremos somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a curva é definida por , , para entre 0 e 2. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a parametrização da curva r(t) = lang<= t, t^2, t^3 rang<= como um vetor posição :
Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 2, temos um ponto na curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de r,'(t) = ddtlang<= t, t^2, t^3 rang<= = lang<= 1, 2t, 3t^2 rang<= em relação a , que é :
Essa derivada nos dá a direção e a velocidade com que percorremos a curva à medida que varia.

Passo 4

Em seguida, vamos substituir a parametrização na função vetorial F(r(t)) = lang<= t^2 + t^2, t^2 cdot t^3, t + 3t^2 rang<= = lang<= 2t^2, t^5, t + 3t^2 rang<= :
Aqui, substituímos , e pelas suas respectivas expressões em termos de .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre F(r(t)) cdot r,'(t) = (2t^2)(1) + (t^5)(2t) + (t + 3t^2)(3t^2) e = 2t^2 + 2t^6 + 3t^3 + 9t^4 :
2t^2 + 3t^3 + 9t^4 + 2t^6
Vamos simplificar cada termo:
Então, temos:

Passo 6

Agora, configuramos a integral de linha como uma integral comum em termos de integral0^2 (2t^2 + 3t^3 + 9t^4 + 2t^6) , dt de 0 a 2:
Isso significa que vamos integrar essa expressão polinomial no intervalo especificado.

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral0^2 2t^2 , dt = 2 cdot t^33 |0^2 = 2 cdot 83 = 163
integral0^2 3t^3 , dt = 3 cdot t^44 |0^2 = 3 cdot 164 = 12
integral0^2 9t^4 , dt = 9 cdot t^55 |0^2 = 9 cdot 325 = 2885
integral0^2 2t^6 , dt = 2 cdot t^77 |0^2 = 2 cdot 1287 = 2567
Agora, somamos todos os resultados:
163 + 12 + 2885 + 2567
Para somar, vamos encontrar o denominador comum, que é 105:
163 = 560105, 12 = 1260105, 2885 = 6048105, 2567 = 3840105
Somando tudo:
560 + 1260 + 6048 + 3840105 = 11708105 = 111.52 (aproximadamente)

Resposta

A integral de linha vale aproximadamente 111,52.

Exercícios relacionados

Encontre d/y d/x se for possível em cada caso a seguir: x sen(x y) + y = 0;
Se y z^2 + z + 3 x y = 0, é possível expressar z como uma função de x e y em uma vizinhança de (0, 0, 0) ? Em caso afirmativo, é possivel obter z = f(x, y) de maneira explícita?
Se u=F(x-y, y-z, z-x), utilize a regra da cadeia para verificar que u satisfaz a seguinte relação
partial upartial x+partial upartial y+partial upartial z=0
Encontre d/y d/x se for possível em cada caso a seguir: x * exp(y) + 3 * y = 0