Encontre d/y d/x se for possível em cada caso a seguir: x sen(x y) + y = 0;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar na equação . Vamos usar derivadas implícitas para resolver isso, que é quando a gente tem y definido de forma indireta em função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos termos com , precisamos usar a regra da cadeia, porque é uma função de .

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para , usamos a regra do produto:
    A derivada de é 1, então:
    Agora, derivamos usando a regra do produto novamente:
    Então, a derivada completa de fica:
  2. Para , a derivada é simplesmente .

Passo 4

Juntando tudo, a derivada do lado esquerdo da equação fica:

Passo 5

Agora, vamos isolar . Primeiro, distribuímos :
Colocamos os termos com de um lado:
Finalmente, isolamos :

Resposta

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Se y z^2 + z + 3 x y = 0, é possível expressar z como uma função de x e y em uma vizinhança de (0, 0, 0) ? Em caso afirmativo, é possivel obter z = f(x, y) de maneira explícita?
Seja r:[t1, t2] R^3 a função posição de uma partícula de massa m sujeita a um campo de forças F: Dom(F) subset R^3 R^3, onde Dom(F) é um conjunto aberto e a imagem de r está incluída em Dom(F). Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
F(r(t))=m ddotr(t)
Se mathscrC é a curva representada pela função r, justifique os seguintes fatos: S e F(x, y, z)=-D U(x, y, z), então
m2|v(t1)|^2+U(r(t1))=m2|v(t2)|^2+U(r(t2))
onde v é a função velocidade da partícula em questão.
Calcule a integral de linha integralmathscrC(x^2+y, y z, x+3 y) cdot d r, onde mathscrC é a curva
mathscrC: x=t, y=t^2, z=t^3, t in[0,2]
Se u=F(x-y, y-z, z-x), utilize a regra da cadeia para verificar que u satisfaz a seguinte relação
partial upartial x+partial upartial y+partial upartial z=0