Se , é possível expressar z como uma função de e y em uma vizinhança de ? Em caso afirmativo, é possivel obter de maneira explícita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e queremos saber se dá para escrever como uma função de e perto do ponto . Para isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a resolver equações onde uma variável está “presa” de forma complicada. Precisamos verificar algumas condições desse teorema para ver se dá para isolar em função de e .
Passo 2
Primeiro, vamos tratar nossa equação como . O Teorema da Função Implícita diz que, se a derivada parcial de em relação a no ponto for diferente de zero, então conseguimos resolver como função de e perto desse ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , isso fica:
Como , a condição do Teorema da Função Implícita é satisfeita. Isso significa que, sim, podemos expressar como uma função de e perto de , ou seja, existe .
Passo 4
Agora, para saber se podemos obter de forma explícita, precisamos ver se conseguimos isolar na equação original. Vamos tentar resolver a equação para :
Isso é uma equação quadrática em :
Podemos usar a fórmula de resolução de equações quadráticas:
No entanto, perto de , e são pequenos, e podemos expandir a raiz quadrada em série de Taylor para simplificar. Ainda assim, a expressão final para em termos de e fica um pouco complicada e não é muito “limpa”.
Resposta
Sim, é possível expressar como uma função de e em uma vizinhança de . Contudo, obter de maneira explícita resulta em uma expressão complexa, tornando-a não tão prática para uso direto.