Se u=F(x-y, y-z, z-x), utilize a regra da cadeia para verificar que u satisfaz a seguinte relação
partial upartial x+partial upartial y+partial upartial z=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função e precisa verificar, usando a regra da cadeia, que a soma das derivadas parciais de em relação a , e é igual a zero. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e regra da cadeia, que é uma ferramenta para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis intermediárias. Vamos chamar:
a = x - y, b = y - z, c = z - x
Então, a função fica .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de partial upartial x = partial Fpartial a cdot partial apartial x + partial Fpartial b cdot partial bpartial x + partial Fpartial c cdot partial cpartial x em relação a partial upartial x = partial Fpartial a cdot 1 + partial Fpartial b cdot 0 + partial Fpartial c cdot (-1) = partial Fpartial a - partial Fpartial c , e .
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
Vamos calcular cada termo:
  • (porque )
  • (porque não depende de )
  • (porque )
Então,

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para partial upartial y = partial Fpartial a cdot partial apartial y + partial Fpartial b cdot partial bpartial y + partial Fpartial c cdot partial cpartial y :
partial upartial y = partial Fpartial a cdot (-1) + partial Fpartial b cdot 1 + partial Fpartial c cdot 0 = -partial Fpartial a + partial Fpartial b
Calculando cada derivada:
  • (porque )
  • (porque )
  • (porque não depende de )
Então,

Passo 5

Agora, para partial upartial z = partial Fpartial a cdot partial apartial z + partial Fpartial b cdot partial bpartial z + partial Fpartial c cdot partial cpartial z :
partial upartial z = partial Fpartial a cdot 0 + partial Fpartial b cdot (-1) + partial Fpartial c cdot 1 = -partial Fpartial b + partial Fpartial c
Calculando cada derivada:
  • (porque não depende de )
  • (porque )
  • (porque )
Então,

Passo 6

Agora, vamos somar as três derivadas parciais que encontramos:
partial upartial x + partial upartial y + partial upartial z = ( partial Fpartial a - partial Fpartial c ) + ( -partial Fpartial a + partial Fpartial b ) + ( -partial Fpartial b + partial Fpartial c )
Vamos organizar os termos:
partial Fpartial a - partial Fpartial c - partial Fpartial a + partial Fpartial b - partial Fpartial b + partial Fpartial c = 0
Todos os termos se cancelam, restando zero.

Resposta

partial upartial x + partial upartial y + partial upartial z = 0

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