Se
, utilize a regra da cadeia para verificar que u satisfaz a seguinte relação
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função
e precisa verificar, usando a regra da cadeia, que a soma das derivadas parciais de
em relação a
,
e
é igual a zero. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e regra da cadeia, que é uma ferramenta para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis intermediárias. Vamos chamar:
Então, a função fica
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
Vamos calcular cada termo:
-
(porque ) -
(porque não depende de ) -
(porque )
Então,
Passo 4
Vamos repetir o mesmo processo para
:
Calculando cada derivada:
-
(porque ) -
(porque ) -
(porque não depende de )
Então,
Passo 5
Agora, para
:
Calculando cada derivada:
-
(porque não depende de ) -
(porque ) -
(porque )
Então,
Passo 6
Agora, vamos somar as três derivadas parciais que encontramos:
Vamos organizar os termos:
Todos os termos se cancelam, restando zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
é a curva
Encontre
se for possível em cada caso a seguir:
;
Encontre
se for possível em cada caso a seguir:
;
Seja
a função posição de uma partícula de massa
sujeita a um campo de forças
, onde
é um conjunto aberto e a imagem de
está incluída em
. Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
Se
é a curva representada pela função
, justifique os seguintes fatos: A variação da energia cinética entre
e
é igual à integral de linha de
ao longo da curva
.