Calcule a integral de linha
ointC y e^z d x+x e^z d y+x y e^z d z
onde C é uma curva fechada que é fronteira da superfície S: z=1-x^2-y^2, com x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha. O enunciado é:
ointC y e^z dx + x e^z dy + x y e^z dz
Aqui, C é uma curva fechada que é a fronteira da superfície S: z = 1 - x^2 - y^2, com x^2 + y^2 <= 1.
Vamos precisar usar Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície, além de entender como calcular o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial F ao redor de uma curva fechada C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como fronteira. Matematicamente:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Então, para resolver nosso problema, vamos calcular o rotacional de F e depois fazer a integral de superfície.

Passo 3

Vamos definir o campo vetorial F do enunciado:
F = ( y e^z,; x e^z,; x y e^z )
Agora, precisamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z,; partial F1partial z - partial F3partial x,; partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. partial F3partial y = partialpartial y (x y e^z) = x e^z
  2. partial F2partial z = partialpartial z (x e^z) = x e^z
  3. partial F1partial z = partialpartial z (y e^z) = y e^z
  4. partial F3partial x = partialpartial x (x y e^z) = y e^z
  5. partial F2partial x = partialpartial x (x e^z) = e^z
  6. partial F1partial y = partialpartial y (y e^z) = e^z
Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = ( x e^z - x e^z,; y e^z - y e^z,; e^z - e^z ) = (0,; 0,; 0)

Passo 4

O rotacional de F é zero, ou seja, nabla times F = 0. Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS 0 cdot dS = 0
Então, a integral de linha é igual a zero.

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

Exercícios relacionados