Calcule a integral de linha
onde
é uma curva fechada que é fronteira da superfície
, com
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha. O enunciado é:
Aqui,
é uma curva fechada que é a fronteira da superfície
, com
.
Vamos precisar usar Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície, além de entender como calcular o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como fronteira. Matematicamente:
Então, para resolver nosso problema, vamos calcular o rotacional de
e depois fazer a integral de superfície.
Passo 3
Vamos definir o campo vetorial
do enunciado:
Agora, precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
O rotacional de
é zero, ou seja,
. Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Então, a integral de linha é igual a zero.
Resposta
A integral de linha é igual a 0.
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o parabolóide. Calcule
onde
, com
orientada com vetor normal apontando para cima.
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. Calcule
onde
, com
orientada com vetor normal apontando para cima.
Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.