Calcule a integral de linha
onde é uma curva fechada que é fronteira da superfície , com .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha. O enunciado é:
Aqui, é uma curva fechada que é a fronteira da superfície , com .
Vamos precisar usar Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície, além de entender como calcular o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Matematicamente:
Então, para resolver nosso problema, vamos calcular o rotacional de e depois fazer a integral de superfície.

Passo 3

Vamos definir o campo vetorial do enunciado:
Agora, precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 4

O rotacional de é zero, ou seja, . Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Então, a integral de linha é igual a zero.

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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