Seja S=(x, y, z): z=9-x^2-y^2, z >= 0 o parabolóide. Calcule
integral duplaS nabla times F cdot d S
onde F=(2 z-y, x+z, 3 x-2 y), com S orientada com vetor normal apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S, que é um parabolóide definido por com . O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de superfície e uso do teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e aplicar o teorema de Stokes para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional do campo vetorial F. O rotacional de F, denotado por nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , é dado pela seguinte fórmula:
partial F3partial y = partial (3x - 2y)partial y = -2
Onde F = partial F2partial z = partial (x + z)partial z = 1 . Vamos calcular cada componente:
partial F1partial z = partial (2z - y)partial z = 2
partial F3partial x = partial (3x - 2y)partial x = 3
partial F2partial x = partial (x + z)partial x = 1
partial F1partial y = partial (2z - y)partial y = -1
nabla times F = (-2 - 1, 2 - 3, 1 - (-1)) = (-3, -1, 2)
Agora, substituindo esses valores na fórmula do rotacional:

Passo 3

Agora que temos o rotacional de F, podemos aplicar o teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que:
integral duplaS nabla times F cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda de S, que é .
No nosso caso, a borda é o círculo na base do parabolóide, onde e . Vamos parametrizar esse círculo para facilitar a integração.

Passo 4

Vamos parametrizar o caminho x = 3 cos theta . Como é um círculo de raio 3 no plano y = 3 sin theta , podemos usar coordenadas polares:
z = 0
dr = ( dxdtheta, dydtheta, dzdtheta ) dtheta = (-3 sin theta, 3 cos theta, 0) dtheta
Onde varia de a .
O vetor diferencial de posição é dado por:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de F e F = (2z - y, x + z, 3x - 2y) = (-y, x, 3x - 2y) na integral de linha:
F = (-3 sin theta, 3 cos theta, 3(3 cos theta) - 2(3 sin theta)) = (-3 sin theta, 3 cos theta, 9 cos theta - 6 sin theta)
No caminho ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi [ (-3 sin theta)(-3 sin theta) + (3 cos theta)(3 cos theta) + (9 cos theta - 6 sin theta)(0) ] dtheta , ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( 9 sin^2 theta + 9 cos^2 theta ) dtheta = integral0^2pi 9 (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta , então:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi 9 cdot 1 , dtheta = 9 cdot 2pi = 18pi
A integral de linha fica:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Aplicando o teorema de Stokes, temos:
integral duplaS nabla times F cdot dS = ointpartial S F cdot dr = 18pi

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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