Seja
o parabolóide. Calcule
onde
, com
orientada com vetor normal apontando para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S, que é um parabolóide definido por
com
. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de superfície e uso do teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e aplicar o teorema de Stokes para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional do campo vetorial F. O rotacional de F, denotado por
, é dado pela seguinte fórmula:
Onde F =
. Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora que temos o rotacional de F, podemos aplicar o teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda de S, que é
.
No nosso caso, a borda
é o círculo na base do parabolóide, onde
e
. Vamos parametrizar esse círculo para facilitar a integração.
Passo 4
Vamos parametrizar o caminho
. Como é um círculo de raio 3 no plano
, podemos usar coordenadas polares:
Onde
varia de
a
.
O vetor diferencial de posição
é dado por:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores de F e
na integral de linha:
No caminho
,
, então:
A integral de linha fica:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Aplicando o teorema de Stokes, temos:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
Calcule a integral de linha
onde
é uma curva fechada que é fronteira da superfície
, com
.
Seja uma superfície dada por
. Calcule
onde
, com
orientada com vetor normal apontando para cima.