Seja o parabolóide. Calcule
onde , com orientada com vetor normal apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S, que é um parabolóide definido por com . O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de superfície e uso do teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e aplicar o teorema de Stokes para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional do campo vetorial F. O rotacional de F, denotado por , é dado pela seguinte fórmula:
Onde F = . Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo esses valores na fórmula do rotacional:

Passo 3

Agora que temos o rotacional de F, podemos aplicar o teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda de S, que é .
No nosso caso, a borda é o círculo na base do parabolóide, onde e . Vamos parametrizar esse círculo para facilitar a integração.

Passo 4

Vamos parametrizar o caminho . Como é um círculo de raio 3 no plano , podemos usar coordenadas polares:
Onde varia de a .
O vetor diferencial de posição é dado por:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de F e na integral de linha:
No caminho , , então:
A integral de linha fica:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Aplicando o teorema de Stokes, temos:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Usando técnicas de integração, calcule:
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
Calcule a integral de linha
onde é uma curva fechada que é fronteira da superfície , com .
Seja uma superfície dada por . Calcule
onde , com orientada com vetor normal apontando para cima.