(4,0) Usando técnicas de integração, calcule: integral1^e ln raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 1 até . Isso é parte da matéria de cálculo integral, especificamente das técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro do logaritmo e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar raizx = x^1/2 . Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:
ln raizx = ln x^1/2
Então, o logaritmo fica:

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz ln x^1/2 = 12 ln x , podemos simplificar ainda mais:
integral1^e ln raizx , dx = integral1^e 12 ln x , dx
Portanto, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o 12 integral1^e ln x , dx para facilitar a integração:
12 [ x ln x - x ]1^e
Sabemos que a integral de é , então aplicamos essa fórmula:

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a e ln e - e = e cdot 1 - e = e - e = 0 :
Para 1 ln 1 - 1 = 1 cdot 0 - 1 = -1 :
0 - (-1) = 1
Para 12 cdot 1 = 12 :
Subtraindo os dois valores:
Multiplicando pela :

Resposta

A integral definida de de 1 até é .

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