Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o arco da curva de a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral de linha. A gente tem que integrar a função ao longo da curva , que é o arco da curva , indo do ponto até . Para isso, vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como a curva é dada por , podemos escolher como nosso parâmetro. Vamos chamar , onde varia de a . Assim, .

Passo 3

Com essa parametrização, precisamos expressar em termos de . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original. A integral de linha fica:
Podemos simplificar isso para:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Perceba que temos exatamente na nossa integral, que é . Assim, a integral simplifica para:

Passo 6

A integral de em relação a é simplesmente . Aplicando isso aos limites de integração:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o arco da parábola de a
Aplicações, calcule a grandeza física solicita:
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide , dentro do cilindro , se a densidade superficial é constante
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.
Calcule o fluxo de através da superfície:
(b) para fora da superfície (normal se afastando do plano ) do cilindro parabólico , delimitado pelos planos e
Thomas 12ed exer 16.6.20
Sol.
Esboce o campo vetorial .