Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC e^x d x, C é o arco da curva x=y^3 de (-1,-1) a (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral de linha. A gente tem que integrar a função ao longo da curva , que é o arco da curva , indo do ponto até . Para isso, vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como a curva é dada por , podemos escolher como nosso parâmetro. Vamos chamar , onde varia de a . Assim, .

Passo 3

Com essa parametrização, precisamos expressar dx = ddt(t^3) = 3t^2 dt em termos de . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original. A integral de linha fica:
integralC e^x dx = integralt=-1^1 e^t^3 cdot 3t^2 dt
Podemos simplificar isso para:
3 integral-1^1 t^2 e^t^3 dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja du = 3t^2 dt . Então, a derivada de integral e^u du em relação a é:
Perceba que temos exatamente na nossa integral, que é . Assim, a integral simplifica para:

Passo 6

A integral de e^u |u=(-1)^3^u=(1)^3 = e^1 - e^-1 em relação a é simplesmente . Aplicando isso aos limites de integração:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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