Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é o arco da curva de a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral de linha. A gente tem que integrar a função ao longo da curva , que é o arco da curva , indo do ponto até . Para isso, vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como a curva é dada por , podemos escolher como nosso parâmetro. Vamos chamar , onde varia de a . Assim, .
Passo 3
Com essa parametrização, precisamos expressar em termos de . Derivando em relação a , temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral original. A integral de linha fica:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Perceba que temos exatamente na nossa integral, que é . Assim, a integral simplifica para:
Passo 6
A integral de em relação a é simplesmente . Aplicando isso aos limites de integração: