Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da parábola
de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que temos aqui é uma integral onde
é o caminho dado pela parábola
indo de
até
. O conteúdo principal aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva no plano. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e substituir na integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, podemos definir:
onde
varia de
a
para cobrir todo o caminho de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então fica:
Passo 5
Vamos distribuir o
dentro dos parênteses:
Agora, temos duas integrais separadas para resolver.
Passo 6
Primeira parte:
Integral de uma função potência:
Aplicando isso:
Avaliado de 0 a
:
Passo 7
Segunda parte:
Vamos resolver isso usando integração por partes, onde:
Escolha:
-
então -
então
Aplicando:
Avaliado de 0 a
:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, a integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Aplicações, calcule a grandeza física solicita:
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide
, dentro do cilindro
, se a densidade superficial
é constante
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.
Calcule a integral,
, do campo escalar
, sobre as superfícies
(g) , sobre o cubo que está no primeiro octante delimitado pelos planos
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.
(g)
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da curva
de
a
Calcule o fluxo de
através da superfície:
(b) para fora da superfície (normal se afastando do plano
) do cilindro parabólico
, delimitado pelos planos
e
Thomas 12ed exer 16.6.20
Sol.
(b)
Thomas 12ed exer 16.6.20
Sol.