Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC(x^2 y+sen(x)) d y, C é o arco da parábola y=x^2 de (0,0) a (pi, pi^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que temos aqui é uma integral onde é o caminho dado pela parábola indo de até . O conteúdo principal aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva no plano. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e substituir na integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t e y = t^2 . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Então, podemos definir:
onde varia de a para cobrir todo o caminho de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dy = dydt dt = 2t , dt em termos de . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir integralC (x^2 y + sin(x)) dy = integral0^pi (t^2 cdot t^2 + sin(t)) cdot 2t , dt , t^2 cdot t^2 = t^4 e integral0^pi (t^4 + sin(t)) cdot 2t , dt na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então fica:

Passo 5

Vamos distribuir o integral0^pi (2t cdot t^4 + 2t cdot sin(t)) dt = integral0^pi (2t^5 + 2t sin(t)) dt dentro dos parênteses:
Agora, temos duas integrais separadas para resolver.

Passo 6

Primeira parte: integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C
Integral de uma função potência:
2 integral t^5 , dt = 2 cdot t^66 = t^63
Aplicando isso:
pi^63 - 0^63 = pi^63
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Segunda parte: integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos resolver isso usando integração por partes, onde:
2 [ -t cos(t) + integral cos(t) , dt ] = 2 [ -t cos(t) + sin(t) ]
Escolha:
  • 2 [ -pi cos(pi) + sin(pi) - ( -0 cos(0) + sin(0) ) ] = 2 [ -pi (-1) + 0 - (0 + 0) ] = 2 pi então
  • então
Aplicando:
Avaliado de 0 a :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
pi^63 + 2pi
Portanto, a integral de linha é .

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