Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o arco da parábola de a

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que temos aqui é uma integral onde é o caminho dado pela parábola indo de até . O conteúdo principal aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva no plano. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e substituir na integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Então, podemos definir:
onde varia de a para cobrir todo o caminho de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir , e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então fica:

Passo 5

Vamos distribuir o dentro dos parênteses:
Agora, temos duas integrais separadas para resolver.

Passo 6

Primeira parte:
Integral de uma função potência:
Aplicando isso:
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Segunda parte:
Vamos resolver isso usando integração por partes, onde:
Escolha:
  • então
  • então
Aplicando:
Avaliado de 0 a :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Portanto, a integral de linha é .

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