Esboce o campo vetorial
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O enunciado solicita que a gente esboce o campo vetorial
. Isso significa que precisamos desenhar os vetores que correspondem a cada ponto
no plano. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um campo vetorial e como representar os vetores graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto no espaço. No nosso caso, temos um campo vetorial bidimensional, ou seja, está definido no plano
. O vetor
tem duas componentes:
- A componente
é , que é constante. - A componente
é , que varia dependendo dos valores de e .
Passo 3
Para esboçar o campo vetorial, vamos analisar cada componente separadamente:
-
Componente
: A componentedo vetor é sempre . Isso significa que, independentemente de onde estamos no plano, o vetor sempre terá uma parte fixa apontando para a esquerda com magnitude . -
Componente
: A componenteé . Isso significa que a direção vertical do vetor depende da diferença entre as coordenadas e . - Se
, o vetor aponta para cima. - Se
, o vetor aponta para baixo. - Se
, a componente é zero, então o vetor não tem parte vertical.
- Se
Passo 4
Vamos agora escolher alguns pontos específicos no plano para visualizar melhor os vetores:
-
Ponto
: - Componente
: - Componente
: - Vetor:
Este vetor aponta apenas para a esquerda. - Componente
-
Ponto
: - Componente
: - Componente
: - Vetor:
Este vetor aponta para a esquerda e para cima. - Componente
-
Ponto
: - Componente
: - Componente
: - Vetor:
Este vetor aponta para a esquerda e para baixo. - Componente
Passo 5
Com esses vetores, podemos começar a esboçar o campo vetorial:
- Todos os vetores terão uma parte horizontal igual a
, apontando para a esquerda. - A parte vertical dos vetores variará:
- Para pontos acima da linha
, a componente será positiva (vetor aponta para cima). - Para pontos abaixo da linha
, a componente será negativa (vetor aponta para baixo). - Na linha
, os vetores serão apenas horizontais.
- Para pontos acima da linha
Passo 6
Ao desenhar o campo vetorial, observe que:
- A direção horizontal dos vetores é constante.
- A direção vertical depende da posição relativa ao eixo
. - Isso cria um padrão onde os vetores acima da linha
se inclinam para cima e os abaixo para baixo, mantendo sempre a mesma parte horizontal.
Resposta
O esboço do campo vetorial
consiste em vetores que sempre têm uma componente horizontal fixa de
, apontando para a esquerda, e uma componente vertical que varia de acordo com a diferença
. Assim, os vetores acima da linha
se inclinam para cima, os abaixo se inclinam para baixo, e na linha
são apenas horizontais. O desenho resultante mostra esse padrão consistente em todo o plano
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo de
através da superfície:
(b) para fora da superfície (normal se afastando do plano
) do cilindro parabólico
, delimitado pelos planos
e
Thomas 12ed exer 16.6.20
Sol.
(b)
Thomas 12ed exer 16.6.20
Sol.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da curva
de
a
Esboce o campo vetorial
.
Esboce o campo vetorial
.