Esboce o campo vetorial .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O enunciado solicita que a gente esboce o campo vetorial . Isso significa que precisamos desenhar os vetores que correspondem a cada ponto no plano. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um campo vetorial e como representar os vetores graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto no espaço. No nosso caso, temos um campo vetorial bidimensional, ou seja, está definido no plano . O vetor tem duas componentes:
  • A componente é , que é constante.
  • A componente é , que varia dependendo dos valores de e .

Passo 3

Para esboçar o campo vetorial, vamos analisar cada componente separadamente:
  1. Componente :
    A componente do vetor é sempre . Isso significa que, independentemente de onde estamos no plano, o vetor sempre terá uma parte fixa apontando para a esquerda com magnitude .
  2. Componente :
    A componente é . Isso significa que a direção vertical do vetor depende da diferença entre as coordenadas e .
    • Se , o vetor aponta para cima.
    • Se , o vetor aponta para baixo.
    • Se , a componente é zero, então o vetor não tem parte vertical.

Passo 4

Vamos agora escolher alguns pontos específicos no plano para visualizar melhor os vetores:
  1. Ponto :
    • Componente :
    • Componente :
    • Vetor:
    Este vetor aponta apenas para a esquerda.
  2. Ponto :
    • Componente :
    • Componente :
    • Vetor:
    Este vetor aponta para a esquerda e para cima.
  3. Ponto :
    • Componente :
    • Componente :
    • Vetor:
    Este vetor aponta para a esquerda e para baixo.

Passo 5

Com esses vetores, podemos começar a esboçar o campo vetorial:
  • Todos os vetores terão uma parte horizontal igual a , apontando para a esquerda.
  • A parte vertical dos vetores variará:
    • Para pontos acima da linha , a componente será positiva (vetor aponta para cima).
    • Para pontos abaixo da linha , a componente será negativa (vetor aponta para baixo).
    • Na linha , os vetores serão apenas horizontais.

Passo 6

Ao desenhar o campo vetorial, observe que:
  • A direção horizontal dos vetores é constante.
  • A direção vertical depende da posição relativa ao eixo .
  • Isso cria um padrão onde os vetores acima da linha se inclinam para cima e os abaixo para baixo, mantendo sempre a mesma parte horizontal.

Resposta

O esboço do campo vetorial consiste em vetores que sempre têm uma componente horizontal fixa de , apontando para a esquerda, e uma componente vertical que varia de acordo com a diferença . Assim, os vetores acima da linha se inclinam para cima, os abaixo se inclinam para baixo, e na linha são apenas horizontais. O desenho resultante mostra esse padrão consistente em todo o plano .

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