Aplicações, calcule a grandeza física solicita:
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide , dentro do cilindro , se a densidade superficial é constante
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de Cálculo Aplicado onde precisamos encontrar a massa de uma lâmina. A lâmina está definida pela parte do parabolóide que está dentro do cilindro . A densidade superficial da lâmina, representada por , é constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície para encontrar a área da lâmina e, assim, calcular a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. O parabolóide descreve uma superfície parabólica que se abre para cima. O cilindro define uma região circular com raio . Queremos a parte do parabolóide que está dentro desse cilindro.

Passo 3

Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade superficial sobre a área da lâmina. A massa é dada por:
Como é constante, podemos tirá-la da integral:
Então, precisamos encontrar a área da região definida pelo parabolóide e o cilindro.

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas polares, pois a região de integração é circular. Nas coordenadas polares, temos:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Além disso, no parabolóide , podemos expressar em termos de .

Passo 5

Para encontrar os limites de integração, observamos que o cilindro em coordenadas polares é , então . Assim, varia de 0 a , e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da superfície do parabolóide dentro do cilindro. A área de uma superfície em coordenadas polares é dada por:
Calculamos a derivada parcial de em relação a :
Então,

Passo 7

Substituindo na expressão da área, temos:
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a .

Passo 8

Fazendo a substituição , temos , o que implica . Os limites de quando são e quando , .
Então, a integral em torna-se:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral sobre :
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, calculamos a massa multiplicando a densidade superficial pela área:

Resposta

A massa da lâmina é .

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