Aplicações, calcule a grandeza física solicita:
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide
, dentro do cilindro
, se a densidade superficial
é constante
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de Cálculo Aplicado onde precisamos encontrar a massa de uma lâmina. A lâmina está definida pela parte do parabolóide
que está dentro do cilindro
. A densidade superficial da lâmina, representada por
, é constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície para encontrar a área da lâmina e, assim, calcular a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. O parabolóide
descreve uma superfície parabólica que se abre para cima. O cilindro
define uma região circular com raio
. Queremos a parte do parabolóide que está dentro desse cilindro.
Passo 3
Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade superficial sobre a área da lâmina. A massa
é dada por:
Como
é constante, podemos tirá-la da integral:
Então, precisamos encontrar a área
da região definida pelo parabolóide e o cilindro.
Passo 4
Vamos mudar para coordenadas polares, pois a região de integração é circular. Nas coordenadas polares, temos:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Além disso, no parabolóide
, podemos expressar
em termos de
.
Passo 5
Para encontrar os limites de integração, observamos que o cilindro
em coordenadas polares é
, então
. Assim,
varia de 0 a
, e
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da superfície do parabolóide dentro do cilindro. A área de uma superfície
em coordenadas polares é dada por:
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Então,
Passo 7
Substituindo na expressão da área, temos:
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
.
Passo 8
Fazendo a substituição
, temos
, o que implica
. Os limites de
quando
são
e quando
,
.
Então, a integral em
torna-se:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral sobre
:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, calculamos a massa multiplicando a densidade superficial pela área:
Resposta
A massa da lâmina é
.
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