Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha na curva
definida por
e
, onde
varia de 0 a 1. Vamos precisar das fórmulas de parametrização de curvas e entender como calcular integrais de linha usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Ela serve para calcular a soma de uma função ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, queremos somar os valores de
ao longo da curva
.
Passo 3
A expressão geral para a integral de linha de uma função
ao longo de uma curva parametrizada por
é:
Aqui,
representa um pequeno segmento de comprimento da curva.
Passo 4
Vamos identificar as parametrizações dadas:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da integral de linha:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
Substituindo
na integral:
Mas sabemos que
, então:
Passo 7
Vamos expandir a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
, que correspondem a
a
:
Calculando os valores:
Resposta
O valor da integral de linha é aproximadamente 0,785.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
b. ,
b.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o segmento de reta que junta
a
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,