Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC y d s, C: x=t^3, y=t^2, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha na curva definida por e , onde varia de 0 a 1. Vamos precisar das fórmulas de parametrização de curvas e entender como calcular integrais de linha usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Ela serve para calcular a soma de uma função ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, queremos somar os valores de ao longo da curva .

Passo 3

A expressão geral para a integral de linha de uma função integralC f(x, y) , ds = integrala^b f(x(t), y(t)) raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt ao longo de uma curva parametrizada por é:
Aqui, representa um pequeno segmento de comprimento da curva.

Passo 4

Vamos identificar as parametrizações dadas:
x(t) = t^3 e y(t) = t^2, com 0 <= t <= 1
Agora, vamos calcular as derivadas de dxdt = 3t^2 e dydt = 2t e em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da integral de linha:
integral0^1 y(t) raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = integral0^1 t^2 raiz(3t^2)^2 + (2t)^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
raiz9t^4 + 4t^2 = t raiz9t^2 + 4
Então, a integral fica:
integral0^1 t^3 raiz9t^2 + 4 , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
u = 9t^2 + 4 Rightarrow dudt = 18t Rightarrow dt = du18t
Substituindo integral t^3 raizu cdot du18t = 118 integral t^2 raizu , du na integral:
118 integral u - 49 raizu , du = 1162 integral (u - 4) raizu , du
Mas sabemos que , então:

Passo 7

Vamos expandir a integral:
1162 integral (u^1.5 - 4u^0.5) , du = 1162 ( 25u^2.5 - 83u^1.5 ) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1162 [ ( 25(13)^2.5 - 83(13)^1.5 ) - ( 25(4)^2.5 - 83(4)^1.5 ) ] a approx 1162 [ ( 25 times 609.823 - 83 times 46.872 ) - ( 25 times 32 - 83 times 8 ) ] approx 0.785 , que correspondem a a :
Calculando os valores:

Resposta

O valor da integral de linha é aproximadamente 0,785.

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