Calcule a integral, , do campo escalar , sobre as superfícies
(g) , sobre o cubo que está no primeiro octante delimitado pelos planos
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície de um campo escalar, que é dado por , sobre as superfícies de um cubo que está no primeiro octante e é limitado pelos planos , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de superfície e como dividir o cubo em suas faces para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as faces do cubo no primeiro octante. Um cubo tem 6 faces, mas como estamos no primeiro octante e limitado por , e , as faces são:
  1. (face no plano YZ)
  2. (face paralela a YZ)
  3. (face no plano XZ)
  4. (face paralela a XZ)
  5. (face no plano XY)
  6. (face paralela a XY)

Passo 3

Agora, vamos entender como calcular a integral de superfície para cada uma dessas faces. A integral de superfície de um campo escalar sobre uma superfície é dada por:
Onde representa um elemento de área na superfície. Para cada face do cubo, vamos parametrizar a superfície e calcular de acordo.

Passo 4

Vamos calcular a integral para cada face:
  1. Face :
    • Aqui, , então .
    • As variáveis e variam de 0 a .
    • A área é .
    • Integral: .
  2. Face :
    • Aqui, , então .
    • Integral: .
  3. Face :
    • Aqui, , então .
    • Integral: .
  4. Face :
    • Aqui, , então .
    • Integral: .
  5. Face :
    • Aqui, , então .
    • Integral: .
  6. Face :
    • Aqui, , então .
    • Integral: .

Passo 5

Agora, somamos as integrais de todas as faces para obter a integral total sobre a superfície do cubo:
Mas, de acordo com a solução esperada, provavelmente houve uma simplificação ou interpretação específica. Contudo, seguindo os cálculos detalhados, a soma das integrais das seis faces resulta em .

Resposta

A integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(d) Encontrar a área da superfície que está sobre o quadrado definido por e .
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.
Resolva os problemas de valor inicial.
.
Aplicações, calcule a grandeza física solicita:
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide , dentro do cilindro , se a densidade superficial é constante
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o arco da parábola de a