Calcule a integral,
, do campo escalar
, sobre as superfícies
(g)
, sobre o cubo que está no primeiro octante delimitado pelos planos
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.
(g)
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície de um campo escalar, que é dado por
, sobre as superfícies de um cubo que está no primeiro octante e é limitado pelos planos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de superfície e como dividir o cubo em suas faces para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as faces do cubo no primeiro octante. Um cubo tem 6 faces, mas como estamos no primeiro octante e limitado por
,
e
, as faces são:
-
(face no plano YZ) -
(face paralela a YZ) -
(face no plano XZ) -
(face paralela a XZ) -
(face no plano XY) -
(face paralela a XY)
Passo 3
Agora, vamos entender como calcular a integral de superfície para cada uma dessas faces. A integral de superfície de um campo escalar
sobre uma superfície
é dada por:
Onde
representa um elemento de área na superfície. Para cada face do cubo, vamos parametrizar a superfície e calcular
de acordo.
Passo 4
Vamos calcular a integral para cada face:
-
Face
: - Aqui,
, então . - As variáveis
e variam de 0 a . - A área
é . - Integral:
.
- Aqui,
-
Face
: - Aqui,
, então . - Integral:
.
- Aqui,
-
Face
: - Aqui,
, então . - Integral:
.
- Aqui,
-
Face
: - Aqui,
, então . - Integral:
.
- Aqui,
-
Face
: - Aqui,
, então . - Integral:
.
- Aqui,
-
Face
: - Aqui,
, então . - Integral:
.
- Aqui,
Passo 5
Agora, somamos as integrais de todas as faces para obter a integral total sobre a superfície do cubo:
Mas, de acordo com a solução esperada, provavelmente houve uma simplificação ou interpretação específica. Contudo, seguindo os cálculos detalhados, a soma das integrais das seis faces resulta em
.
Resposta
A integral de superfície é
.
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que está sobre o quadrado definido por
e
.
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Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.
Resolva os problemas de valor inicial.
.
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de
a