Mostre que se é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem em , então
com a superfície regular, fechada e orientável, que delimita uma região vetor normal unitário exterior a e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente envolvendo integrais múltiplas e cálculo diferencial. A questão pede para mostrar que, para uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem, uma certa integral tripla sobre uma região é igual a uma integral de superfície sobre a fronteira de . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência e propriedades das derivadas e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona uma integral de volume de uma divergência a uma integral de superfície do fluxo do campo vetorial. Ou seja, se temos um campo vetorial , então:
onde é o vetor normal unitário na superfície .

Passo 3

Agora, observamos que no lado esquerdo da equação que precisamos provar, temos . Vamos tentar escrever isso como a divergência de algum campo vetorial . Vamos escolher .

Passo 4

Calculando a divergência de :
Aqui usamos que , que é o laplaciano de .

Passo 5

Com essa expressão para a divergência, podemos aplicar o Teorema da Divergência à integral tripla:
O último passo é direto do Teorema da Divergência.

Passo 6

Finalmente, observamos que , que é a derivada direcional de na direção do vetor normal . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que
como queríamos demonstrar.

Exercícios relacionados

Seja uma superfície regular por partes, fechada simples e orientável, que delimita a região no espaço. Mostre que o volume da região é dada por
Calcule a integral
nos seguintes casos: é a região delimitada pela elipse .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva obtida pela interseção do plano com os planos coordenados.
Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a porsão do plano no primeiro octante.