Mostre que se f: D subseteq R^3 R é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem em D, então
integral triplaU(f De
com S a superfície regular, fechada e orientável, que delimita uma região U subseteq R^3, n circ vetor normal unitário exterior a S e U subseteq D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente envolvendo integrais múltiplas e cálculo diferencial. A questão pede para mostrar que, para uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem, uma certa integral tripla sobre uma região é igual a uma integral de superfície sobre a fronteira de . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência e propriedades das derivadas e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona uma integral de volume de uma divergência a uma integral de superfície do fluxo do campo vetorial. Ou seja, se temos um campo vetorial integral triplaU nabla cdot F , dx , dy , dz = integral duplaS F cdot n , dS , então:
onde é o vetor normal unitário na superfície .

Passo 3

Agora, observamos que no lado esquerdo da equação que precisamos provar, temos . Vamos tentar escrever isso como a divergência de algum campo vetorial . Vamos escolher .

Passo 4

Calculando a divergência de nabla cdot (f nabla f) = nabla f cdot nabla f + f nabla cdot (nabla f) = |nabla f|^2 + f De:
Aqui usamos que , que é o laplaciano de .

Passo 5

Com essa expressão para a divergência, podemos aplicar o Teorema da Divergência à integral tripla:
integral triplaU (f De
O último passo é direto do Teorema da Divergência.

Passo 6

Finalmente, observamos que integral duplaS f nabla f cdot n , dS = integral duplaS f partial fpartial n , dS , que é a derivada direcional de na direção do vetor normal . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que
integral triplaU(f De
como queríamos demonstrar.

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