Mostre que se
é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem em
, então
com
a superfície regular, fechada e orientável, que delimita uma região
vetor normal unitário exterior a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente envolvendo integrais múltiplas e cálculo diferencial. A questão pede para mostrar que, para uma função contínua
com derivadas parciais de primeira ordem, uma certa integral tripla sobre uma região
é igual a uma integral de superfície sobre a fronteira
de
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência e propriedades das derivadas e integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona uma integral de volume de uma divergência a uma integral de superfície do fluxo do campo vetorial. Ou seja, se temos um campo vetorial
, então:
onde
é o vetor normal unitário na superfície
.
Passo 3
Agora, observamos que no lado esquerdo da equação que precisamos provar, temos
. Vamos tentar escrever isso como a divergência de algum campo vetorial
. Vamos escolher
.
Passo 4
Calculando a divergência de
:
Aqui usamos que
, que é o laplaciano de
.
Passo 5
Com essa expressão para a divergência, podemos aplicar o Teorema da Divergência à integral tripla:
O último passo é direto do Teorema da Divergência.
Passo 6
Finalmente, observamos que
, que é a derivada direcional de
na direção do vetor normal
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que
como queríamos demonstrar.
Exercícios relacionados
Seja
uma superfície regular por partes, fechada simples e orientável, que delimita a região
no espaço. Mostre que o volume
da região
é dada por
Calcule a integral
nos seguintes casos:
é a região delimitada pela elipse
.
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva obtida pela interseção do plano
com os planos coordenados.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Calcule a integral
com
, em cada um dos seguintes casos:
, com
a porsão do plano
no primeiro octante.