Calcule a integral. integral(pi-x) cos pi x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar técnicas de cálculo de integrais, mais especificamente, a integração por partes. Para isso, precisamos identificar quais partes da expressão vamos escolher como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral fique mais simples de resolver depois.

Passo 3

Vamos escolher:
u = pi - x e dv = cos(pi x) , dx
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddx (pi - x) , dx = -1 , dx :
v = integral cos(pi x) , dx = sin(pi x)pi + C
E para , integramos :
Desconsideramos a constante pois ela será anulada na substituição.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (pi - x) cos(pi x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo = (pi - x) cdot sin(pi x)pi - integral sin(pi x)pi cdot (-1) , dx , e :

Passo 6

Simplificando a expressão:
= (pi - x) sin(pi x)pi + 1pi integral sin(pi x) , dx
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 7

Calculando integral sin(pi x) , dx = -cos(pi x)pi + C :
Mais uma vez, ignoramos a constante aqui.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
= (pi - x) sin(pi x)pi + 1pi ( -cos(pi x)pi ) + C
Simplificando:
= (pi - x) sin(pi x)pi - cos(pi x)pi^2 + C

Resposta

Portanto, a integral de integral (pi - x) cos(pi x) , dx = (pi - x) sin(pi x)pi - cos(pi x)pi^2 + C em relação a é:

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