Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar técnicas de cálculo de integrais, mais especificamente, a integração por partes. Para isso, precisamos identificar quais partes da expressão vamos escolher como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral fique mais simples de resolver depois.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
E para , integramos :
Desconsideramos a constante pois ela será anulada na substituição.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , e :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 7

Calculando :
Mais uma vez, ignoramos a constante aqui.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral de em relação a é:

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a)
b)
c)
d) pares par)
e) par pares
f) é ímpar)
g) é par)
h)
i)
Calcule a integral.
Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto (40 pontos)