Calcule a integral. integral y e^-y d y

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral para calcular: . Vamos precisar usar um método de integração conhecido como integração por partes, que é super útil quando a gente tem o produto de duas funções, como aqui temos e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, a gente precisa identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = y
Isso significa que du = dy vai ser a derivada de dv = e^-y , dy em relação a :
E o restante da nossa integral vai ser :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar v = integral e^-y , dy = -e^-y , que é a integral de :
Isso porque a integral de é .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral y e^-y , dy = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= y cdot (-e^-y) - integral (-e^-y) cdot dy

Passo 6

Simplificando a expressão:
= -y e^-y + integral e^-y , dy
E sabemos que = -y e^-y - e^-y , então substituímos de novo:

Passo 7

Finalmente, podemos fatorar o = -e^-y(y + 1) + C para deixar a resposta mais elegante:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:
integral y e^-y , dy = -e^-y(y + 1) + C

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