Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral para calcular: . Vamos precisar usar um método de integração conhecido como integração por partes, que é super útil quando a gente tem o produto de duas funções, como aqui temos e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Então, a gente precisa identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos escolher:
Isso significa que vai ser a derivada de em relação a :
E o restante da nossa integral vai ser :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , que é a integral de :
Isso porque a integral de é .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
E sabemos que , então substituímos de novo:

Passo 7

Finalmente, podemos fatorar o para deixar a resposta mais elegante:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:

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pontos) Seja derivável e seja . Supondo , calcule
a) Para todo
b) para algum
c) Para todo par, é par
d) Para todo ímpar, é ímpar
a)
b)
c)
d) pares par)
e) par pares
f) é ímpar)
g) é par)
h)
i)
Calcule a integral.