Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral para calcular:
. Vamos precisar usar um método de integração conhecido como integração por partes, que é super útil quando a gente tem o produto de duas funções, como aqui temos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Então, a gente precisa identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
.
Passo 3
Vamos escolher:
Isso significa que
vai ser a derivada de
em relação a
:
E o restante da nossa integral vai ser
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é a integral de
:
Isso porque a integral de
é
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
E sabemos que
, então substituímos de novo:
Passo 7
Finalmente, podemos fatorar o
para deixar a resposta mais elegante:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral vale: