a) ∀x ∃y (x < y)
b) ∃y ∀x(x < y)
c) ∃ x ∀ y (x < y)
d) forall y existe x (x < y)
e) existe x existe y (x < y)
f) forall x forall y (x < y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que envolve lógica matemática, especificamente sobre quantificadores universais ( ) e existenciais ( ). Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que cada quantificador significa e como eles se aplicam em diferentes situações. Vou te explicar cada uma das afirmações (de a a f) de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

a)
Aqui, a gente está dizendo que para todo número x, existe um número y tal que x é menor que y. Isso faz sentido porque, independentemente de qual número você escolher, sempre tem um número maior. Por exemplo, se , podemos escolher , ou , e por aí vai. Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

b)
Essa afirmação diz que existe um número y tal que para todo número x, x é menor que y. Ou seja, tem um número que é maior que todos os outros números. Pensando bem, não existe um número que seja maior que todos os outros, porque a gente sempre pode adicionar 1 e encontra um número maior. Então, essa afirmação é falsa.

Passo 4

c)
Aqui, a gente está afirmando que existe um número x que é menor que todos os números y. Isso significaria que tem um menor número absoluto. No entanto, não existe um número que seja menor que todos os outros, já que sempre dá para subtrair 1 e encontrar um número ainda menor. Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 5

d)
Essa é similar à primeira, mas invertida. Significa que para todo número y, existe um número x que é menor que y. Isso também é verdade porque, para qualquer número que você escolher, sempre tem um número menor. Por exemplo, se , podemos escolher , ou x = 0, e assim por diante. Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

e)
Essa afirmação diz que existem dois números x e y tais que x é menor que y. Isso é bem óbvio, pois basta escolher qualquer par de números onde um é menor que o outro, como x = 1 e . Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 7

f)
Finalmente, essa afirmação está dizendo que para todo número x e para todo número y, x é menor que y. Isso implicaria que todo número é menor que todo outro, o que claramente não é verdade. Por exemplo, se escolhermos e , vemos que não é menor que . Então, essa afirmação é falsa.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Falsa

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