Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto
(40 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. A gente vai usar um método que envolve fator integrante, que é parte do conteúdo de equações diferenciais lineares. Pra isso, vamos precisar identificar os termos da equação e seguir alguns passos para chegar na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa é uma equação diferencial linear da forma
. Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é
. Então, a gente calcula:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Em seguida, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para integrar o lado direito, usamos integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, temos:
Agora, isolamos
:
Simplificando, fica:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
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Calcule a integral.
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