Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto (40 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . A gente vai usar um método que envolve fator integrante, que é parte do conteúdo de equações diferenciais lineares. Pra isso, vamos precisar identificar os termos da equação e seguir alguns passos para chegar na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa é uma equação diferencial linear da forma . Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é . Então, a gente calcula:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Em seguida, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para . Para integrar o lado direito, usamos integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
Agora, isolamos :
Simplificando, fica:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é

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