Calcule : integral raiz1-s^2 d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. O conteúdo que vamos utilizar envolve integrais de funções trigonométricas e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar expressões que se parecem com a fórmula da identidade trigonométrica .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso nos ajuda porque a expressão dentro da raiz, , vai se transformar de uma forma que usamos a identidade trigonométrica.

Passo 3

Com ds = cos theta , dtheta , precisamos também substituir integral raiz1 - sin^2 theta cdot cos theta , dtheta . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica raiz1 - sin^2 theta = raizcos^2 theta = |cos theta| , que nos dá:
raizcos^2 theta = cos theta
Assumindo que integral cos theta cdot cos theta , dtheta = integral cos^2 theta , dtheta seja positivo (o que geralmente fazemos nesse tipo de substituição), temos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 . Para isso, usamos a identidade de duplicação de ângulo:
integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos 2theta , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
12 integral 1 , dtheta = 12 theta
12 integral cos 2theta , dtheta = 12 cdot sin 2theta2 = sin 2theta4
Então, a integral total é:
12 theta + sin 2theta4 + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = arcsin s . Lembrando que fizemos sin 2theta = 2s raiz1 - s^2 , então:
12 arcsin s + 2s raiz1 - s^24 + C = 12 arcsin s + s raiz1 - s^22 + C
E usamos a identidade , que fica:
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A integral de integral raiz1-s^2 , ds = 12 arcsin s + s raiz1 - s^22 + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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