Calcule :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. O conteúdo que vamos utilizar envolve integrais de funções trigonométricas e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar expressões que se parecem com a fórmula da identidade trigonométrica .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso nos ajuda porque a expressão dentro da raiz, , vai se transformar de uma forma que usamos a identidade trigonométrica.

Passo 3

Com , precisamos também substituir . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica , que nos dá:
Assumindo que seja positivo (o que geralmente fazemos nesse tipo de substituição), temos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Para isso, usamos a identidade de duplicação de ângulo:
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
Então, a integral total é:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
E usamos a identidade , que fica:
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

(b) Enuncie precisamente o teorema usado no item a).
Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Esboce o conjunto
e calcule sua área.
Use polinômio de Taylor com centro em para estimar com erro, em módulo, inferior a . Apresente seus cálculos detalhados.