Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. O conteúdo que vamos utilizar envolve integrais de funções trigonométricas e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar expressões que se parecem com a fórmula da identidade trigonométrica .
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso nos ajuda porque a expressão dentro da raiz, , vai se transformar de uma forma que usamos a identidade trigonométrica.
Passo 3
Com , precisamos também substituir . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica , que nos dá:
Assumindo que seja positivo (o que geralmente fazemos nesse tipo de substituição), temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar . Para isso, usamos a identidade de duplicação de ângulo:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando cada termo separadamente:
Então, a integral total é:
onde é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então: