Calcule :
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. O conteúdo que vamos utilizar envolve integrais de funções trigonométricas e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar expressões que se parecem com a fórmula da identidade trigonométrica
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso nos ajuda porque a expressão dentro da raiz,
, vai se transformar de uma forma que usamos a identidade trigonométrica.
Passo 3
Com
, precisamos também substituir
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica
, que nos dá:
Assumindo que
seja positivo (o que geralmente fazemos nesse tipo de substituição), temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Para isso, usamos a identidade de duplicação de ângulo:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando cada termo separadamente:
Então, a integral total é:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
E usamos a identidade
, que fica:
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.