Esboce o conjunto
e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar o conjunto e calcular a área dessa região. Aqui, estamos trabalhando com inequações envolvendo funções do segundo grau e do primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar gráficos dessas funções e como calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada inequação representa. A inequação descreve todos os pontos acima ou sobre a parábola . Já a inequação descreve todos os pontos abaixo ou sobre a reta . Então, o conjunto é a região que está acima da parábola e abaixo da reta.

Passo 3

Agora, para desenhar essa região, precisamos saber onde as duas curvas se encontram. Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo :
Então, as soluções são e . Portanto, as curvas se cruzam em e .

Passo 4

Com os pontos de interseção, sabemos que nossa região de interesse está entre e . Para calcular a área entre as duas curvas nesse intervalo, usamos a fórmula da integral definida:
Áçãçã
Aqui, a função de cima é a reta e a função de baixo é a parábola .

Passo 5

Vamos então configurar a integral para calcular a área:
Á
Agora, vamos integrar de 0 a 1:
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule :
(b) Enuncie precisamente o teorema usado no item a).
Use polinômio de Taylor com centro em para estimar com erro, em módulo, inferior a . Apresente seus cálculos detalhados.
(a) Seja . Decida se é derivável e em caso afirmativo calcule .