Esboce o conjunto
e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar o conjunto
e calcular a área dessa região. Aqui, estamos trabalhando com inequações envolvendo funções do segundo grau e do primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar gráficos dessas funções e como calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada inequação representa. A inequação
descreve todos os pontos acima ou sobre a parábola
. Já a inequação
descreve todos os pontos abaixo ou sobre a reta
. Então, o conjunto
é a região que está acima da parábola e abaixo da reta.
Passo 3
Agora, para desenhar essa região, precisamos saber onde as duas curvas se encontram. Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo
:
Então, as soluções são
e
. Portanto, as curvas se cruzam em
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção, sabemos que nossa região de interesse está entre
e
. Para calcular a área entre as duas curvas nesse intervalo, usamos a fórmula da integral definida:
Aqui, a função de cima é a reta
e a função de baixo é a parábola
.
Passo 5
Vamos então configurar a integral para calcular a área:
Agora, vamos integrar
de 0 a 1:
Avaliado de 0 a 1:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule :
(b) Enuncie precisamente o teorema usado no item a).
Use polinômio de Taylor com centro em
para estimar
com erro, em módulo, inferior a
. Apresente seus cálculos detalhados.
(a) Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.