Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = { 1 + x se x < -1, x^2 se -1 <= x < 1, 2 - x se x >= 1 }
Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e descobrir para quais valores de existe um valor de tal que . Isso significa encontrar os valores de que fazem com que a equação tenha solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da função separadamente.
Para : A função é . Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 1.
Para : A função é . Essa é uma parábola voltada para cima.
Para : A função é . Essa é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 2.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico:
Para : A reta passa pelo ponto quando : .
Para : A parábola alcança seu mínimo em : .
Para : A reta passa pelo ponto : .
Conectando essas partes, garantimos que o gráfico seja contínuo em e .
Passo 4
Agora, para encontrar os valores de para os quais existe tal que , precisamos determinar o intervalo de valores que pode assumir.
Para : Como e , pode ser qualquer número menor que 0.
Para : Como , varia de 0 a 1.
Para : Como e , pode ser qualquer número menor ou igual a 1.
Passo 5
Unindo todos os intervalos:
(de ),
(de ),
(de ).
Portanto, os valores de que satisfazem estão no intervalo .
Resposta
Os valores de para os quais existe tal que são todos os números reais menores ou iguais a 1, ou seja, .