Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais existe:
f(x) = { 1 + x se x < -1, x^2 se -1 <= x < 1, 2 - x se x >= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = { 1 + x se x < -1, x^2 se -1 <= x < 1, 2 - x se x >= 1 }
Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e descobrir para quais valores de existe um valor de tal que . Isso significa encontrar os valores de que fazem com que a equação tenha solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função separadamente.
  1. Para : A função é . Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 1.
  2. Para : A função é . Essa é uma parábola voltada para cima.
  3. Para : A função é . Essa é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 2.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Para : A reta passa pelo ponto quando : .
  2. Para : A parábola alcança seu mínimo em : .
  3. Para : A reta passa pelo ponto : .
Conectando essas partes, garantimos que o gráfico seja contínuo em e .

Passo 4

Agora, para encontrar os valores de para os quais existe tal que , precisamos determinar o intervalo de valores que pode assumir.
  1. Para : Como e , pode ser qualquer número menor que 0.
  2. Para : Como , varia de 0 a 1.
  3. Para : Como e , pode ser qualquer número menor ou igual a 1.

Passo 5

Unindo todos os intervalos:
  • (de ),
  • (de ),
  • (de ).
Portanto, os valores de que satisfazem estão no intervalo .

Resposta

Os valores de para os quais existe tal que são todos os números reais menores ou iguais a 1, ou seja, .

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