Use polinômio de Taylor com centro em
para estimar
com erro, em módulo, inferior a
. Apresente seus cálculos detalhados.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício para estimar o valor de
usando o polinômio de Taylor centrado em
(que também chamamos de série de Maclaurin). A gente precisa garantir que o erro dessa estimativa seja menor que
(ou seja, 0.01). Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor do cosseno e calcular os termos até que o próximo termo seja menor que 0.01.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para
centrada em 0. A série de Maclaurin para o cosseno é dada por:
Essa série nos permite aproximar
somando os termos até certo ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular os termos dessa série para
até que o próximo termo seja menor que 0.01. Vamos calcular termo a termo:
- Termo 0:
- Termo 1:
- Termo 2:
- Termo 3:
Observe que o quarto termo (
) é aproximadamente
, que é menor que 0.01 em módulo. Isso significa que podemos parar aqui, pois os termos seguintes serão ainda menores.
Passo 4
Agora, vamos somar os termos que calculamos para obter a estimativa de
:
Fazendo as contas:
Resposta
Portanto, a estimativa de
usando o polinômio de Taylor com erro menor que
é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Esboce o conjunto
e calcule sua área.
Calcule :
(a) Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.
Calcule