Use polinômio de Taylor com centro em para estimar com erro, em módulo, inferior a . Apresente seus cálculos detalhados.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício para estimar o valor de usando o polinômio de Taylor centrado em (que também chamamos de série de Maclaurin). A gente precisa garantir que o erro dessa estimativa seja menor que (ou seja, 0.01). Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor do cosseno e calcular os termos até que o próximo termo seja menor que 0.01.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para centrada em 0. A série de Maclaurin para o cosseno é dada por:
Essa série nos permite aproximar somando os termos até certo ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular os termos dessa série para até que o próximo termo seja menor que 0.01. Vamos calcular termo a termo:
  1. Termo 0:
  2. Termo 1:
  3. Termo 2:
  4. Termo 3:
Observe que o quarto termo ( ) é aproximadamente , que é menor que 0.01 em módulo. Isso significa que podemos parar aqui, pois os termos seguintes serão ainda menores.

Passo 4

Agora, vamos somar os termos que calculamos para obter a estimativa de :
Fazendo as contas:

Resposta

Portanto, a estimativa de usando o polinômio de Taylor com erro menor que é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Esboce o conjunto
e calcule sua área.
Calcule :
(a) Seja . Decida se é derivável e em caso afirmativo calcule .
Calcule