Calcule e verifique o resultado por derivação. integral 5(x^2-1)(x^2-9) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral e depois verificar o resultado usando derivação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Observamos que:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Então, o denominador completo fica:
(x^2-1)(x^2-9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais. Assumimos que:
5(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx - 3 + Dx + 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora 5 = A(x + 1)(x - 3)(x + 3) + B(x - 1)(x - 3)(x + 3) + C(x - 1)(x + 1)(x + 3) + D(x - 1)(x + 1)(x - 3) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, substitu��mos valores específicos de 5 = A(1 + 1)(1 - 3)(1 + 3) = A(2)(-2)(4) = -16A Rightarrow A = -516 para encontrar os coeficientes:
  • Para 5 = B(-1 - 1)(-1 - 3)(-1 + 3) = B(-2)(-4)(2) = 16B Rightarrow B = 516 :
5 = C(3 - 1)(3 + 1)(3 + 3) = C(2)(4)(6) = 48C Rightarrow C = 548
  • Para 5 = D(-3 - 1)(-3 + 1)(-3 - 3) = D(-4)(-2)(-6) = -48D Rightarrow D = -548 :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de 5(x^2-1)(x^2-9) = -516 cdot 1x - 1 + 516 cdot 1x + 1 + 548 cdot 1x - 3 - 548 cdot 1x + 3 , , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 5(x^2-1)(x^2-9) , dx = -516 integral 1x - 1 , dx + 516 integral 1x + 1 , dx + 548 integral 1x - 3 , dx - 548 integral 1x + 3 , dx
Sabemos que = -516 ln|x - 1| + 516 ln|x + 1| + 548 ln|x - 3| - 548 ln|x + 3| + C , então:
= 516 ln|x + 1x - 1| + 548 ln|x - 3x + 3| + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Passo 8

Para verificar, vamos derivar a expressão encontrada e ver se recuperamos a função original:
ddx(516 ln|x + 1x - 1| + 548 ln|x - 3x + 3|)
Usando a regra da derivada do logaritmo:
= 516 cdot (1x + 1 - 1x - 1) + 548 cdot (1x - 3 - 1x + 3)
Simplificando:
= 516 cdot (x - 1) - (x + 1)(x + 1)(x - 1) + 548 cdot (x + 3) - (x - 3)(x - 3)(x + 3)
= 516 cdot -2x^2 - 1 + 548 cdot 6x^2 - 9
= -58 cdot 1x^2 - 1 + 58 cdot 1x^2 - 9
= 5(x^2-1)(x^2-9)
Isso confirma que a integral está correta!

Resposta

A integral 516 ln|x + 1x - 1| + 548 ln|x - 3x + 3| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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