Calcule e verifique o resultado por derivação. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral e depois verificar o resultado usando derivação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Observamos que:
Então, o denominador completo fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, substitu��mos valores específicos de para encontrar os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de , , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
Sabemos que , então:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Passo 8

Para verificar, vamos derivar a expressão encontrada e ver se recuperamos a função original:
Usando a regra da derivada do logaritmo:
Simplificando:
Isso confirma que a integral está correta!

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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