Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou envolve calcular uma integral tripla. Isso está relacionado ao cálculo de volumes e integrais em várias dimensões. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante o processo quando temos simetria circular, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da integral. Temos:
  • varia de -3 a 3.
  • varia de a , o que descreve um círculo de raio 3 no plano xy.
  • varia de a 3.
Isso sugere que estamos lidando com uma região cilíndrica com altura variando em função de .

Passo 3

Vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas:
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos reescrever a integral na nova base de coordenadas:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 5

Simplificando a integral, percebemos que . Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular a integral mais interna em relação a .

Passo 6

Integrando de a :
Agora, substituímos isso na integral principal:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Então, a expressão fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral vale .

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