Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou envolve calcular uma integral tripla. Isso está relacionado ao cálculo de volumes e integrais em várias dimensões. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante o processo quando temos simetria circular, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral. Temos:
-
varia de -3 a 3. -
varia de a , o que descreve um círculo de raio 3 no plano xy. -
varia de a 3.
Isso sugere que estamos lidando com uma região cilíndrica com altura variando em função de
.
Passo 3
Vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas:
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral na nova base de coordenadas:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 5
Simplificando a integral, percebemos que
. Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular a integral mais interna em relação a
.
Passo 6
Integrando
de
a
:
Agora, substituímos isso na integral principal:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale
.