Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região na primeiro octante limitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função sobre uma região chamada . Essa região está no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas) e é limitada por duas superfícies: e , além das coordenadas e . Para resolver isso, vamos precisar usar integrais múltiplas em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Precisamos encontrar onde as duas superfícies se interceptam para definir os limites de integração. Vamos igualar as duas equações de :
Resolvendo essa equação para e :
Dividindo ambos os lados por 6:
Essa é a equação de uma elipse no plano . Isso nos ajuda a determinar os limites para e na integral.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante (, ), podemos resolver a equação da elipse para em função de :
Então, varia de 0 a , e para cada , varia de 0 a .
Para , está entre as duas superfícies dadas, então para cada ponto , varia de até .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla. A função a integrar é , então a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a :
Substituindo os limites:
Passo 7
Simplificando a expressão, temos:
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a de 0 a . Esse cálculo envolve técnicas de integração que podem ser um pouco complexas, mas seguindo os passos corretamente, chegamos ao resultado final.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral vale .