Considere a integral iterada Esboce a região de integração e reescreva a integral como uma integral iterada equivalente em cada uma das cinco outras ordens.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla dada por . Nosso objetivo é desenhar a região onde essa integral está sendo calculada e reescrever essa integral em cada uma das outras cinco ordens possíveis de integração. Isso envolve um pouco de geometria e compreensão das integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração para entender a região:
  • Para : Varia de a .
  • Para : Varia de a . Isso significa que, para cada valor de , começa no quadrado de e vai até .
  • Para : Varia de a . Então, para cada par , começa em e vai até .

Passo 3

Vamos imaginar isso no espaço tridimensional:
  1. Plano : está entre e , e para cada , vai de até . O limite é uma parábola que abre para a direita.
  2. Plano : Para cada na região descrita, vai de a , formando uma espécie de “teto” inclinado.
Então, a região de integração é um volume tridimensional limitado pela parábola , o plano , o plano e o plano inclinado .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral nas outras cinco ordens. Para cada ordem, precisamos determinar os novos limites de integração.

1. Ordem

  • Para : De a .
  • Para : De a (resolvendo para ).
  • Para : De a .
Integral:

2. Ordem

  • Para : De a .
  • Para : De a .
  • Para : De a .
Integral:

3. Ordem

  • Para : De a .
  • Para : De a .
  • Para : De a .
Integral:

4. Ordem

  • Para : De a .
  • Para : De a .
  • Para : De a .
Integral:

5. Ordem

  • Para : De a .
  • Para : De a .
  • Para : De a .
Integral:

Resposta

As cinco integrais equivalentes nas diferentes ordens são:

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