Considere a integral iterada
Esboce a região de integração e reescreva a integral como uma integral iterada equivalente em cada uma das cinco outras ordens.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla dada por
. Nosso objetivo é desenhar a região onde essa integral está sendo calculada e reescrever essa integral em cada uma das outras cinco ordens possíveis de integração. Isso envolve um pouco de geometria e compreensão das integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração para entender a região:
- Para
: Varia de a . - Para
: Varia de a . Isso significa que, para cada valor de , começa no quadrado de e vai até . - Para
: Varia de a . Então, para cada par , começa em e vai até .
Passo 3
Vamos imaginar isso no espaço tridimensional:
- Plano
: está entre e , e para cada , vai de até . O limite é uma parábola que abre para a direita. - Plano
: Para cada na região descrita, vai de a , formando uma espécie de “teto” inclinado.
Então, a região de integração é um volume tridimensional limitado pela parábola
, o plano
, o plano
e o plano inclinado
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral nas outras cinco ordens. Para cada ordem, precisamos determinar os novos limites de integração.
1. Ordem
- Para
: De a . - Para
: De a (resolvendo para ). - Para
: De a .
Integral:
2. Ordem
- Para
: De a . - Para
: De a . - Para
: De a .
Integral:
3. Ordem
- Para
: De a . - Para
: De a . - Para
: De a .
Integral:
4. Ordem
- Para
: De a . - Para
: De a . - Para
: De a .
Integral:
5. Ordem
- Para
: De a . - Para
: De a . - Para
: De a .
Integral:
Resposta
As cinco integrais equivalentes nas diferentes ordens são: