Calcule integral raizx^2-9x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos usar substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em termos de para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada de dx = ddt(1t) = -1t^2 , dt em relação a integral raizx^2-9x^4 , dx = integral raiz(1t)^2 - 9(1t)^4 cdot (-1t^2 , dt) :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz(1t)^2 - 9 = raiz1 - 9t^2t^2 = raiz1 - 9t^2t
Agora, substituindo de volta na integral:
integral raizx^2-9x^4 , dx = -integral raiz1 - 9t^2t cdot t^4 cdot 1t^2 , dt = -integral t raiz1 - 9t^2 , dt

Passo 5

Para resolver a integral u = 1 - 9t^2 Rightarrow du = -18t , dt Rightarrow t , dt = -du18 , fazemos outra substituição:
-integral t raiz1 - 9t^2 , dt = -( -118 integral raizu , du ) = 118 integral u^1/2 , du
Substituindo na integral:
118 cdot 23 u^3/2 + C = 127 u^3/2 + C
Integrando:
127 (1 - 9t^2)^3/2 + C
Substituindo 127 (1 - 9x^2)^3/2 + C = (x^2 - 9)^3/227x^3 + C de volta:
Lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule integral d xraiz[3]x+1
Calcule integral0^3 x^3raiz9+x^2 d x
Sejam S1 a superfície paramétrica dada por vec(r1)(u, v) = (u, v, raiz(u^2 + v^2)), u^2 + v^2 <= 36, e S2 superficie dada por r2(u, v) = (u, v, -raiz(u^2 + v^2), u^2 + v^2 <= 36.
Calcular o fluxo do campo vetorial
f = (x, y, z)
através de S1, na direção do vetor normal unitáric exterior a S1.
Calcule integral 2 x^2+x+7(x^2+4)^2 d x