Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar aqui envolve técnicas de integração, como substituição e decomposição em frações parciais. Precisamos identificar uma estratégia para simplificar a integral e resolvê-la passo a passo.
Passo 2
Vamos começar observando a integral que temos:
O denominador é
, que é um polinômio quadrado e não pode ser fatorado em números reais. Isso sugere que podemos tentar simplificar a fração manipulando o numerador.
Passo 3
Uma boa estratégia é tentar escrever o numerador de forma que se relacione com a derivada do denominador. Vamos calcular a derivada do denominador:
Isso nos mostra que a derivada de
é
. Vamos ver se conseguimos expressar o numerador
de maneira que envolva
.
Passo 4
Vamos reescrever o numerador
de forma a aproveitar a derivada que calculamos:
Aqui,
e
são funções que precisamos determinar. Esse tipo de manipulação facilita a integração, porque relaciona o numerador com a derivada do denominador.
Passo 5
Na verdade, uma abordagem mais direta é separar a integral em partes que sejam mais fáceis de integrar. Vamos dividir o numerador em termos que correspondam ao denominador e aos seus derivados:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a integral original pode ser escrita como a soma de duas integrais mais simples:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Sabemos que a integral de
é
. Aqui,
, então
. Aplicando isso:
Passo 8
Segunda integral:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 9
Primeira parte da segunda integral:
Fazemos a substituição
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 10
Segunda parte da segunda integral:
Sabemos que:
Para
:
Multiplicando pelo sinal negativo:
Passo 11
Agora, juntando todas as partes:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
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Sejam
a superfície paramétrica dada por
, e
superficie dada por
.
Calcular o fluxo do campo vetorial
Calcular o fluxo do campo vetorial
através de
, na direção do vetor normal unitáric exterior a
.
Calcule
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se:
Calcule