Calcule integral 2 x^2+x+7(x^2+4)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar aqui envolve técnicas de integração, como substituição e decomposição em frações parciais. Precisamos identificar uma estratégia para simplificar a integral e resolvê-la passo a passo.

Passo 2

Vamos começar observando a integral que temos:
integral 2x^2 + x + 7(x^2 + 4)^2 , dx
O denominador é , que é um polinômio quadrado e não pode ser fatorado em números reais. Isso sugere que podemos tentar simplificar a fração manipulando o numerador.

Passo 3

Uma boa estratégia é tentar escrever o numerador de forma que se relacione com a derivada do denominador. Vamos calcular a derivada do denominador:
ddx( x^2 + 4 ) = 2x
Isso nos mostra que a derivada de é . Vamos ver se conseguimos expressar o numerador de maneira que envolva .

Passo 4

Vamos reescrever o numerador 2x^2 + x + 7 = A(x) cdot 2x + B de forma a aproveitar a derivada que calculamos:
Aqui, e são funções que precisamos determinar. Esse tipo de manipulação facilita a integração, porque relaciona o numerador com a derivada do denominador.

Passo 5

Na verdade, uma abordagem mais direta é separar a integral em partes que sejam mais fáceis de integrar. Vamos dividir o numerador em termos que correspondam ao denominador e aos seus derivados:
2x^2 + x + 7(x^2 + 4)^2 = 2(x^2 + 4) - x + 7 - 8(x^2 + 4)^2 = 2x^2 + 4 + -x + 7 - 8(x^2 + 4)^2
Simplificando:
2x^2 + x + 7(x^2 + 4)^2 = 2x^2 + 4 + -x -1(x^2 + 4)^2

Passo 6

Agora, a integral original pode ser escrita como a soma de duas integrais mais simples:
integral 2x^2 + 4 , dx + integral -x -1(x^2 + 4)^2 , dx
Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
integral 2x^2 + 4 , dx
Sabemos que a integral de 2 cdot 12 arctan(x2) = arctan(x2) é . Aqui, , então . Aplicando isso:

Passo 8

Segunda integral:
integral -x -1(x^2 + 4)^2 , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
- integral x(x^2 + 4)^2 , dx - integral 1(x^2 + 4)^2 , dx

Passo 9

Primeira parte da segunda integral:
- integral x(x^2 + 4)^2 , dx
Fazemos a substituição - 12 integral 1u^2 , du = - 12 ( -1u ) + C = 12(x^2 + 4) + C , então ou . Substituindo na integral:

Passo 10

Segunda parte da segunda integral:
- integral 1(x^2 + 4)^2 , dx
Sabemos que:
integral 1(x^2 + a^2)^2 , dx = x2a^2(x^2 + a^2) + 12a^3 arctan(xa) + C
Para x8(x^2 + 4) + 116 arctan(x2) + C :
- x8(x^2 + 4) - 116 arctan(x2) + C
Multiplicando pelo sinal negativo:

Passo 11

Agora, juntando todas as partes:
arctan(x2) + 12(x^2 + 4) - x8(x^2 + 4) - 116 arctan(x2) + C
Simplificando os termos semelhantes:
(1 - 116) arctan(x2) + 12(x^2 + 4) - x8(x^2 + 4) + C
1516 arctan(x2) + 12(x^2 + 4) - x8(x^2 + 4) + C

Resposta

integral 2x^2 + x + 7(x^2 + 4)^2 , dx = 1516 arctan(x2) + 12(x^2 + 4) - x8(x^2 + 4) + C

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