Sejam a superfície paramétrica dada por , e superficie dada por .
Calcular o fluxo do campo vetorial
através de , na direção do vetor normal unitáric exterior a .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas superfícies paramétricas, e , que são basicamente a parte de cima e de baixo de uma esfera com raio 6 (já que ). Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , na direção do vetor normal unitário que aponta para fora de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo de fluxo através de uma superfície e vetores normais. Também vamos usar a parametrização das superfícies para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Aqui, é o vetor normal unitário à superfície na direção que a gente quer (no caso, para fora de ).
Passo 3
Como temos a parametrização da superfície , que é , podemos usar a fórmula para calcular o vetor normal utilizando o produto vetorial dos vetores tangentes à superfície. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal não unitário:
Passo 5
Para obter o vetor normal unitário , precisamos normalizar o vetor que encontramos:
Então,
Passo 6
Agora, vamos substituir o campo vetorial na expressão do fluxo. Como , e , temos:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 7
Observamos que o integrando é zero, ou seja, . Isso significa que o fluxo do campo vetorial através da superfície é zero, já que estamos integrando zero sobre a região.
Resposta
O fluxo do campo vetorial através de na direção do vetor normal unitário exterior é zero.