Sejam S1 a superfície paramétrica dada por vec(r1)(u, v) = (u, v, raiz(u^2 + v^2)), u^2 + v^2 <= 36, e S2 superficie dada por r2(u, v) = (u, v, -raiz(u^2 + v^2), u^2 + v^2 <= 36.
Calcular o fluxo do campo vetorial
f = (x, y, z)
através de S1, na direção do vetor normal unitáric exterior a S1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas superfícies paramétricas, e , que são basicamente a parte de cima e de baixo de uma esfera com raio 6 (já que ). Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , na direção do vetor normal unitário que aponta para fora de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo de fluxo através de uma superfície e vetores normais. Também vamos usar a parametrização das superfícies para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Aqui, é o vetor normal unitário à superfície na direção que a gente quer (no caso, para fora de ).

Passo 3

Como temos a parametrização da superfície , que é , podemos usar a fórmula para calcular o vetor normal utilizando o produto vetorial dos vetores tangentes à superfície. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal não unitário:

Passo 5

Para obter o vetor normal unitário , precisamos normalizar o vetor que encontramos:
Então,

Passo 6

Agora, vamos substituir o campo vetorial na expressão do fluxo. Como , e , temos:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Passo 7

Observamos que o integrando é zero, ou seja, . Isso significa que o fluxo do campo vetorial através da superfície é zero, já que estamos integrando zero sobre a região.

Resposta

O fluxo do campo vetorial através de na direção do vetor normal unitário exterior é zero.

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