Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃO POR PARTES: ∫ x . eˣ . dx Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos calcular a integral de $ x \cdot e^{x} $ em relação a $ x $, usando o método de Integração por Partes. Esse método é super útil quando a gente tem o produto de duas funções, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar quais partes da nossa função vão ser $ u $ e $ dv $ para aplicar a fórmula correta.
Passo 2
A primeira coisa a fazer é escolher quais partes da função vão ser $ u $ e $ dv $. A regra geral que a gente segue é escolher $ u $ como a parte que fica mais simples quando derivada, e $ dv $ como a parte que é fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
- $ u = x $
- $ dv = e^{x} , dx $
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u $ para encontrar $ du $, e integrar $ dv $ para encontrar $ v $:
- Derivando $ u $:
- Integrando $ dv $:
Passo 4
Com $ u $, $ du $, $ v $ e $ dv $ definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral que ficou:
Então, substituindo de volta na equação:
onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A integral de $ x \cdot e^{x} , dx $ é: