Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃO POR PARTES: ∫ x . eˣ . dx Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos calcular a integral de $ x \cdot e^{x} $ em relação a $ x $, usando o método de Integração por Partes. Esse método é super útil quando a gente tem o produto de duas funções, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar quais partes da nossa função vão ser $ u $ e $ dv $ para aplicar a fórmula correta.

Passo 2

A primeira coisa a fazer é escolher quais partes da função vão ser $ u $ e $ dv $. A regra geral que a gente segue é escolher $ u $ como a parte que fica mais simples quando derivada, e $ dv $ como a parte que é fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
  • $ u = x $
  • $ dv = e^{x} , dx $

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u $ para encontrar $ du $, e integrar $ dv $ para encontrar $ v $:
  • Derivando $ u $: u
  • Integrando $ dv $: du

Passo 4

Com $ u $, $ du $, $ v $ e $ dv $ definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
u
Substituindo os valores:
du

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
integral e^x , dx = e^x
Então, substituindo de volta na equação:
integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - e^x + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A integral de $ x \cdot e^{x} , dx $ é:
x cdot e^x , dx

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