Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 5 m3/min. Quão rápido estará aumentando a altura da água no tanque?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de taxa relacionada da matemática, que é quando uma quantidade muda em relação a outra. Aqui, um tanque cilíndrico com raio de 5 metros está enchendo com água a uma taxa de 5 metros cúbicos por minuto. A gente precisa descobrir quão rápido a altura da água está aumentando nesse tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
V = pi r^2 h
Onde:
  • $ V $ é o volume,
  • $ r $ é o raio,
  • $ h $ é a altura.
No nosso caso, o raio $ r $ é constante e igual a 5 metros.

Passo 3

Vamos substituir o valor do raio na fórmula do volume:
V = pi (5)^2 h
V = 25pi h
Isso simplifica a equação do volume em termos da altura $ h $.

Passo 4

Agora, queremos saber como a altura $ h $ está mudando em relação ao tempo $ t $. Para isso, vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo:
h
Aqui, $ \frac{dV}{dt} $ é a taxa de mudança do volume, que é dada como 5 m³/min.

Passo 5

Vamos isolar $ \frac{dh}{dt} $ na equação:
dhdt
dhdt = dVdt25pi
dhdt = 525pi

Resposta

A altura da água no tanque está aumentando a uma taxa de $ \frac{1}{5\pi} $ metros por minuto, aproximadamente 0,0637 m/min.

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