Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 5 m3/min. Quão rápido estará aumentando a altura da água no tanque?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de taxa relacionada da matemática, que é quando uma quantidade muda em relação a outra. Aqui, um tanque cilíndrico com raio de 5 metros está enchendo com água a uma taxa de 5 metros cúbicos por minuto. A gente precisa descobrir quão rápido a altura da água está aumentando nesse tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ r $ é o raio,
- $ h $ é a altura.
No nosso caso, o raio $ r $ é constante e igual a 5 metros.
Passo 3
Vamos substituir o valor do raio na fórmula do volume:
Isso simplifica a equação do volume em termos da altura $ h $.
Passo 4
Agora, queremos saber como a altura $ h $ está mudando em relação ao tempo $ t $. Para isso, vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo:
Aqui, $ \frac{dV}{dt} $ é a taxa de mudança do volume, que é dada como 5 m³/min.
Passo 5
Vamos isolar $ \frac{dh}{dt} $ na equação:
Resposta
A altura da água no tanque está aumentando a uma taxa de $ \frac{1}{5\pi} $ metros por minuto, aproximadamente 0,0637 m/min.