Calcule:
(a) integral e^sin x cos x d x
(b) integral e^t1+e^2 t d t
© integral 1raizx+1 d x
(d) integral sin^2 theta d theta
(e) integral raizcos (3 t) sin(3 t) d t
(f) integral 1y^2+6 y+8 d y
(g) integral (2 x + 1) e^x^2 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um monte de integrais pra resolver, então vamos dar uma olhada no que precisamos. Todos esses exercícios envolvem cálculo de integrais, que é um tópico de cálculo integral. Vamos precisar usar técnicas como substituição, frações parciais e identidades trigonométricas para resolver cada um deles.

Passo 2

Letra (a) integral e^sin x cos x , dx

Primeiro, vamos resolver a integral integral e^sin x cos x , dx. Aqui, podemos usar a substituição que facilita a integral.

Passo 3

Para essa parte, percebemos que se fizermos u = sin x, então du = cos x , dx. Isso simplifica bastante a integral!

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral e^sin x cos x , dx = integral e^u , du

Passo 5

Agora, a integral de e^u , du é simplesmente e^u + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original, u = sin x, então a solução é:
e^sin x + C

Passo 7

Letra (b) integral e^t1+e^2 t , dt

Vamos agora para a integral integral e^t1+e^2 t , dt. Podemos simplificar essa expressão usando uma substituição adequada.

Passo 8

Observamos que o denominador 1 + e^2t pode ser relacionado com a derivada do numerador. Vamos fazer u = 1 + e^2t, então du = 2 e^2t , dt. Contudo, ajustaremos para coincidir com o numerador.

Passo 9

Notamos que:
e^t1+e^2 t = e^t(1 + e^t)(1 - e^t)
Mas uma substituição mais direta seria deixar u = e^t, então du = e^t , dt.

Passo 10

Com u = e^t, a integral fica:
integral u1 + u^2 cdot duu = integral 11 + u^2 , du

Passo 11

A integral de 11 + u^2 , du é tan^-1(u) + C.

Passo 12

Voltando para a variável original, u = e^t, então a solução é:
tan^-1(e^t) + C

Passo 13

Letra © integral 1raizx+1 , dx

Agora, vamos para integral 1raizx+1 , dx. Aqui, uma substituição que simplifica a raiz quadrada vai ajudar.

Passo 14

Vamos fazer u = raizx, então x = u^2 e dx = 2u , du.

Passo 15

Substituindo na integral:
integral 1u + 1 cdot 2u , du = 2 integral uu + 1 , du

Passo 16

Podemos simplificar a fração:
uu + 1 = 1 - 1u + 1
Então, a integral fica:
2 integral (1 - 1u + 1) du = 2 integral 1 , du - 2 integral 1u + 1 , du

Passo 17

Calculando as integrais separadamente:
2u - 2 ln|u + 1| + C

Passo 18

Voltando para a variável original, u = raizx, a solução é:
2raizx - 2 ln(raizx + 1) + C

Passo 19

Letra (d) integral sin^2 theta , dtheta

Vamos resolver a integral integral sin^2 theta , dtheta. Existe uma identidade trigonométrica que facilita isso.

Passo 20

Usamos a identidade:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2

Passo 21

Substituindo na integral:
integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta - 12 integral cos(2theta) , dtheta

Passo 22

Calculando as integrais:
12 theta - 14 sin(2theta) + C

Passo 23

Letra (e) integral raizcos (3 t) sin(3 t) , dt

Agora, para integral raizcos (3 t) sin(3 t) , dt, podemos usar uma substituição que lide com a função dentro da raiz.

Passo 24

Vamos fazer u = cos(3t), então du = -3 sin(3t) , dt, ou seja, sin(3t) , dt = -13 du.

Passo 25

Substituindo na integral:
integral raizu cdot (-13) du = -13 integral u^1/2 , du

Passo 26

Integrando:
-13 cdot 23 u^3/2 + C = -29 u^3/2 + C

Passo 27

Voltando para a variável original, u = cos(3t), a solução é:
-29 cos^3/2(3t) + C

Passo 28

Letra (f) integral 1y^2+6 y+8 , dy

Vamos resolver integral 1y^2+6 y+8 , dy. Aqui, podemos completar o quadrado ou fatorar o denominador.

Passo 29

Fatorando o denominador:
y^2 + 6y + 8 = (y + 2)(y + 4)

Passo 30

Usamos frações parciais para decompor a fração:
1(y + 2)(y + 4) = Ay + 2 + By + 4

Passo 31

Multiplicando ambos os lados por (y + 2)(y + 4):
1 = A(y + 4) + B(y + 2)
Para resolver, escolhemos valores de y que simplificam.

Passo 32

Se y = -4:
1 = A(-4 + 4) + B(-4 + 2) Rightarrow 1 = 0 + B(-2) Rightarrow B = -12
Se y = -2:
1 = A(-2 + 4) + B(-2 + 2) Rightarrow 1 = 2A + 0 Rightarrow A = 12

Passo 33

Então, a decomposição é:
1(y + 2)(y + 4) = 1/2y + 2 - 1/2y + 4

Passo 34

Integrando:
12 ln|y + 2| - 12 ln|y + 4| + C

Passo 35

Podemos simplificar combinando os logaritmos:
12 ln(y + 2y + 4) + C

Passo 36

Letra (g) integral (2 x + 1) e^x^2 e^x , dx

Por último, vamos para integral (2x + 1) e^x^2 e^x , dx. Vamos simplificar a expressão e buscar uma substituição.

Passo 37

Primeiro, note que e^x^2 e^x = e^x^2 + x. Para facilitar, vamos completar o quadrado no expoente:
x^2 + x = (x + 12)^2 - 14
Então:
e^x^2 + x = e^(x + 12)^2 - 14 = e^-14 e^(x + 12)^2
Como e^-14 é constante, podemos tirá-la para fora da integral:
e^-14 integral (2x + 1) e^(x + 12)^2 , dx

Passo 38

Agora, fazemos a substituição u = (x + 12)^2, então du = 2(x + 12) , dx. Precisamos ajustar a expressão para coincidir.

Passo 39

Reescrevemos (2x + 1) , dx como 2(x + 12) , dx, então:
integral 2(x + 12) e^u , dx = integral e^u , du

Passo 40

A integral de e^u , du é simplesmente e^u + C.

Passo 41

Voltando para a variável original:
e^-14 e^(x + 12)^2 + C = e^x^2 + x + C

Resposta

As integrais resolvidas são:
a) integral e^sin x cos x , dx = e^sin x + C
b) integral e^t1+e^2 t , dt = tan^-1(e^t) + C
c) integral 1raizx+1 , dx = 2raizx - 2 ln(raizx + 1) + C
d) integral sin^2 theta , dtheta = 12 theta - 14 sin(2theta) + C
e) integral raizcos (3 t) sin(3 t) , dt = -29 cos^3/2(3t) + C
f) integral 1y^2+6 y+8 , dy = 12 ln(y + 2y + 4) + C
g) integral (2 x + 1) e^x^2 e^x , dx = e^x^2 + x + C

Exercícios relacionados

Calcule:
(a) integral x e^x d x
(b) integral x^2 e^x d x
© integral x ln x d x
(d) integral x^2 ln x d x
(e) integral x^2 sin x d x
Calcule: (a) $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ (b) $\int_{0}^{\pi} x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x$
Derive a função
f(x)=(1+x^(-1))^2
Derive
f(x) = (x - raiz(x)) / (x^2)