Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um monte de integrais pra resolver, então vamos dar uma olhada no que precisamos. Todos esses exercícios envolvem cálculo de integrais, que é um tópico de cálculo integral. Vamos precisar usar técnicas como substituição, frações parciais e identidades trigonométricas para resolver cada um deles.
Passo 2
Letra (a)
Primeiro, vamos resolver a integral
. Aqui, podemos usar a substituição que facilita a integral.
Passo 3
Para essa parte, percebemos que se fizermos
, então
. Isso simplifica bastante a integral!
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Agora, a integral de
é simplesmente
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para a variável original,
, então a solução é:
Passo 7
Letra (b)
Vamos agora para a integral
. Podemos simplificar essa expressão usando uma substituição adequada.
Passo 8
Observamos que o denominador
pode ser relacionado com a derivada do numerador. Vamos fazer
, então
. Contudo, ajustaremos para coincidir com o numerador.
Passo 9
Notamos que:
Mas uma substituição mais direta seria deixar
, então
.
Passo 10
Com
, a integral fica:
Passo 11
A integral de
é
.
Passo 12
Voltando para a variável original,
, então a solução é:
Passo 13
Letra ©
Agora, vamos para
. Aqui, uma substituição que simplifica a raiz quadrada vai ajudar.
Passo 14
Vamos fazer
, então
e
.
Passo 15
Substituindo na integral:
Passo 16
Podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Passo 17
Calculando as integrais separadamente:
Passo 18
Voltando para a variável original,
, a solução é:
Passo 19
Letra (d)
Vamos resolver a integral
. Existe uma identidade trigonométrica que facilita isso.
Passo 20
Usamos a identidade:
Passo 21
Substituindo na integral:
Passo 22
Calculando as integrais:
Passo 23
Letra (e)
Agora, para
, podemos usar uma substituição que lide com a função dentro da raiz.
Passo 24
Vamos fazer
, então
, ou seja,
.
Passo 25
Substituindo na integral:
Passo 26
Integrando:
Passo 27
Voltando para a variável original,
, a solução é:
Passo 28
Letra (f)
Vamos resolver
. Aqui, podemos completar o quadrado ou fatorar o denominador.
Passo 29
Fatorando o denominador:
Passo 30
Usamos frações parciais para decompor a fração:
Passo 31
Multiplicando ambos os lados por
:
Para resolver, escolhemos valores de
que simplificam.
Passo 32
Se
:
Se
:
Passo 33
Então, a decomposição é:
Passo 34
Integrando:
Passo 35
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
Passo 36
Letra (g)
Por último, vamos para
. Vamos simplificar a expressão e buscar uma substituição.
Passo 37
Primeiro, note que
. Para facilitar, vamos completar o quadrado no expoente:
Então:
Como
é constante, podemos tirá-la para fora da integral:
Passo 38
Agora, fazemos a substituição
, então
. Precisamos ajustar a expressão para coincidir.
Passo 39
Reescrevemos
como
, então:
Passo 40
A integral de
é simplesmente
.
Passo 41
Voltando para a variável original:
Resposta
As integrais resolvidas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Exercícios relacionados
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule:
(a) $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$
(b) $\int_{0}^{\pi} x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x$
Derive a função
Derive