Calcule a integral de superfície
16.
é a fronteira da região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
16.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a superfície
, que é a fronteira da região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariable, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir a superfície
em partes mais simples e calcular a integral em cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
. Ela é composta por três partes:
- Parte A: O plano
, onde o cilindro intersecta esse plano. - Parte B: O plano
, também cortando o cilindro. - Parte C: A parte lateral do cilindro
entre os dois planos.
Entender essa divisão vai facilitar o cálculo da integral em partes menores.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral na Parte A, onde
. Nesse caso, a função
se torna zero, pois
. Então, a integral sobre essa parte será:
Ou seja, não contribuímos nada para a integral total nessa parte.
Passo 4
Agora, vamos para a Parte B, onde
. Aqui, podemos expressar
em termos de
:
. A função fica
.
Para calcular a integral, precisamos parametrizar essa superfície. Sabemos que o cilindro
define um círculo de raio 3 no plano
-
. Então, os limites para
e
são:
A área diferencial
no plano
é igual à área diferencial no plano
-
, já que a superfície é plana. Portanto:
Agora, substituímos
e
:
Integrando de
a
:
Resolvendo as integrais:
Portanto, a integral na Parte B também é zero.
Passo 5
Finalmente, vamos para a Parte C, a superfície lateral do cilindro
. Para parametrizar o cilindro, usamos coordenadas cilíndricas:
O valor de
varia de
a
.
A integral fica:
Como a superfície é cilindrica, o elemento de área
simplifica para:
Então, a integral se torna:
Calculando:
Expandindo
:
Substituindo na integral:
Resolvendo cada termo:
Portanto, a integral na Parte C também é zero.
Resposta
A integral de superfície
é igual a 0.