Calcule a integral de superfície
16. integral duplaS x z d S, S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0 e x+y=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é a fronteira da região limitada pelo cilindro e pelos planos e . Aqui, estamos lidando com cálculo multivariable, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir a superfície em partes mais simples e calcular a integral em cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície . Ela é composta por três partes:
  1. Parte A: O plano , onde o cilindro intersecta esse plano.
  2. Parte B: O plano , também cortando o cilindro.
  3. Parte C: A parte lateral do cilindro entre os dois planos.
Entender essa divisão vai facilitar o cálculo da integral em partes menores.

Passo 3

Vamos começar calculando a integral na Parte A, onde integral duplaSA xz , dS = integral duplaSA 0 , dS = 0 . Nesse caso, a função se torna zero, pois . Então, a integral sobre essa parte será:
Ou seja, não contribuímos nada para a integral total nessa parte.

Passo 4

Agora, vamos para a Parte B, onde y = 3costheta, z = 3sintheta, theta in [0, 2pi] . Aqui, podemos expressar dS = dy , dz em termos de f(x, y, z) , dS = (5 - 3costheta)(3sintheta) cdot 3 , dtheta = 9(5 - 3costheta)sintheta , dtheta : integral duplaSB xz , dS = 9 integral0^2pi (5sintheta - 3costheta sintheta) , dtheta . A função fica 9 [ -5costheta + 32cos^2theta ]0^2pi = 0 .
Para calcular a integral, precisamos parametrizar essa superfície. Sabemos que o cilindro define um círculo de raio 3 no plano - . Então, os limites para e são:
A área diferencial no plano é igual à área diferencial no plano - , já que a superfície é plana. Portanto:
Agora, substituímos e :
Integrando de a :
Resolvendo as integrais:
Portanto, a integral na Parte B também é zero.

Passo 5

Finalmente, vamos para a Parte C, a superfície lateral do cilindro y = 3costheta, z = 3sintheta, theta in [0, 2pi] . Para parametrizar o cilindro, usamos coordenadas cilíndricas:
integral duplaSC xz , dS = integral0^2pi integral0^5 - 3costheta x cdot 3sintheta cdot raiz1 + (dydx)^2 + (dzdx)^2 , dx , dtheta
O valor de dS = raiz(dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta , dx = 3 , dtheta , dx varia de integral duplaSC xz , dS = integral0^2pi integral0^5 - 3costheta x cdot 3sintheta cdot 3 , dx , dtheta = 9 integral0^2pi sintheta [ x^22 ]0^5 - 3costheta , dtheta a 9 integral0^2pi sintheta cdot (5 - 3costheta)^22 , dtheta .
A integral fica:
25 - 30costheta + 9cos^2theta
Como a superfície é cilindrica, o elemento de área 92 integral0^2pi (25sintheta - 30costheta sintheta + 9cos^2theta sintheta) , dtheta simplifica para:
Então, a integral se torna:
Calculando:
Expandindo :
Substituindo na integral:
Resolvendo cada termo:
Portanto, a integral na Parte C também é zero.

Resposta

A integral de superfície é igual a 0.

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