Calcule a integral de superfície
II.
é a parte do cone
que está entre os planos
e
II.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular uma integral de superfície, especificamente
, onde
é a parte do cone definido por
entre os planos
e
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, mais precisamente sobre integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular o elemento de área
para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície
. Observamos que o cone
é simétrico em relação ao eixo
. Uma forma prática de parametrizar esse tipo de superfície é usando coordenadas cilíndricas, onde
,
e
(porque
).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na parametrização que escolhemos. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície
, o elemento de área é dado por
. Mas, para um cone, isso simplifica para
, já que
e
.
Passo 4
Vamos expressar
,
e
em termos dos parâmetros
e
:
Substituindo esses na função que vamos integrar, temos:
Passo 5
Com tudo isso, montamos a integral de superfície:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos calcular as integrais internas:
Primeiro, a integral em :
Primeiro, a integral em
Agora, a integral em
:
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
A integral de superfície é aproximadamente
unidades.