Calcule a integral de superfície
II. integral duplaS x^2 z^2 d S, S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular uma integral de superfície, especificamente integral duplaS x^2 z^2 dS, onde S é a parte do cone definido por z^2 = x^2 + y^2 entre os planos z=1 e z=3. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, mais precisamente sobre integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular o elemento de área dS para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Observamos que o cone z^2 = x^2 + y^2 é simétrico em relação ao eixo z. Uma forma prática de parametrizar esse tipo de superfície é usando coordenadas cilíndricas, onde x = r costheta, y = r sintheta e z = r (porque z = raizx^2 + y^2 = r).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS na parametrização que escolhemos. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície z = r, o elemento de área é dado por dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r dr dtheta. Mas, para um cone, isso simplifica para dS = r raiz2 dr dtheta, já que partial zpartial r = 1 e partial zpartial theta = 0.

Passo 4

Vamos expressar x, y e z em termos dos parâmetros r e theta:
x = r costheta, y = r sintheta, z = r
Substituindo esses na função que vamos integrar, temos:
x^2 z^2 = (r costheta)^2 cdot r^2 = r^4 cos^2theta

Passo 5

Com tudo isso, montamos a integral de superfície:
integral duplaS x^2 z^2 dS = integraltheta=0^2pi integralr=1^3 r^4 cos^2theta cdot raiz2 r dr dtheta
Simplificando, temos:
raiz2 integral0^2pi cos^2theta dtheta integral1^3 r^5 dr

Passo 6

Vamos calcular as integrais internas:
Primeiro, a integral em r:
integral1^3 r^5 dr = [ r^66 ]1^3 = 3^6 - 1^66 = 729 - 16 = 7286 = 1213
Agora, a integral em theta:
integral0^2pi cos^2theta dtheta = pi
Portanto, substituindo de volta:
raiz2 cdot pi cdot 1213 approx raiz2 cdot pi cdot 1213 approx 1.4142 cdot 3.1416 cdot 121.333 approx 540.43

Resposta

A integral de superfície é aproximadamente 540.43 unidades.

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