Calcule a integral de superfície
14.
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
14.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral de superfície para calcular:
. A superfície
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
(ou seja, onde
). Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam os cálculos em superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. A esfera tem raio
(já que
) e o cilindro tem raio
. Como estamos acima do plano
, consideramos apenas a metade superior da esfera (
).
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
Aqui,
é o raio (que é
para a esfera),
é o ângulo com o eixo
, e
é o ângulo no plano
.
Passo 4
Na esfera de raio
,
. O cilindro
em coordenadas esféricas fica:
Simplificando:
Então,
ou
.
Passo 5
Portanto,
varia de
a
para estarmos dentro do cilindro. A integral na superfície em coordenadas esféricas é dada por:
Aqui,
.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Então:
Passo 7
Podemos separar as integrais:
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que:
Porque
tem média
ao longo de um período completo.
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Podemos usar a fórmula de redução:
Para
:
Avaliando de
a
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral de superfície é
.