Calcule a integral de superfície
14. integral duplaS y^2 d S, S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral de superfície para calcular: . A superfície é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano (ou seja, onde ). Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam os cálculos em superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. A esfera tem raio (já que ) e o cilindro tem raio . Como estamos acima do plano , consideramos apenas a metade superior da esfera ( ).

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
Aqui, é o raio (que é para a esfera), é o ângulo com o eixo , e é o ângulo no plano .

Passo 4

Na esfera de raio (2 sinphi costheta)^2 + (2 sinphi sintheta)^2 = 1 , 4 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = 1 implies 4 sin^2phi = 1 implies sinphi = 12 . O cilindro em coordenadas esféricas fica:
Simplificando:
Então, ou .

Passo 5

Portanto, integral duplaS y^2 , dS = integral0^2pi integral0^pi6 ( (2 sinphi sintheta)^2 ) cdot (2^2 sinphi) , dphi , dtheta varia de a para estarmos dentro do cilindro. A integral na superfície em coordenadas esféricas é dada por:
Aqui, .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
y^2 = (2 sinphi sintheta)^2 = 4 sin^2phi sin^2theta
Então:
integral duplaS y^2 , dS = integral0^2pi integral0^pi6 4 sin^2phi sin^2theta cdot 4 sinphi , dphi , dtheta = 16 integral0^2pi integral0^pi6 sin^3phi sin^2theta , dphi , dtheta

Passo 7

Podemos separar as integrais:
16 ( integral0^pi6 sin^3phi , dphi ) ( integral0^2pi sin^2theta , dtheta )
Primeiro, vamos calcular integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi . Sabemos que:
Porque tem média ao longo de um período completo.

Passo 8

Agora, vamos calcular integral sin^nphi , dphi = -sin^n-1phi cosphin + n-1n integral sin^n-2phi , dphi . Podemos usar a fórmula de redução:
integral sin^3phi , dphi = -sin^2phi cosphi3 + 23 integral sinphi , dphi = -sin^2phi cosphi3 - 23 cosphi + C
Para [-sin^2(pi6) cos(pi6)3 - 23 cos(pi6)] - [0 - 23] = -(1/2)^2 (raiz3/2)3 - 23 (raiz3/2) + 23 :
-raiz312 - raiz33 + 23 = -raiz312 - 4raiz312 + 812 = -5raiz312 + 812 = 8 - 5raiz312
Avaliando de a :
Simplificando:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
16 cdot 8 - 5raiz312 cdot pi = 128 - 80raiz312 pi = 32 - 20raiz33 pi

Resposta

A integral de superfície é .

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