Um fluido tem densidade 870 kg/m^3 e escoa com velocidade v = z i + y^2 j + x^2 k, onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro x^2 + y^2 = 4, 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: O exercício trata de fluxo de um fluido com densidade que está escoando com a velocidade . Precisamos encontrar a vazão para fora de um cilindro definido por e . Vamos usar conceitos de cálculo de fluxo por uma superfície fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a vazão ( ) através de uma superfície fechada é dada pela integral de superfície do produto da densidade pelo vetor velocidade e o vetor normal à superfície:
Aqui, é a densidade do fluido, é o vetor velocidade, é o vetor normal à superfície , e é o elemento de área.

Passo 3

Como o cilindro é uma superfície fechada composta pela lateral e pelas duas bases (superfícies superior e inferior), precisamos calcular a contribuição de cada parte:
  1. Superfície Lateral ( , )
  2. Base Inferior ( , )
  3. Base Superior ( , )
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas superfícies.

Passo 4

Fluxo na Superfície Lateral:
Para a lateral do cilindro, o vetor normal é radial, ou seja:
(since , o raio ).
O vetor velocidade é .
O produto escalar será:
Então, o fluxo através da lateral é:
(Usamos coordenadas cilíndricas onde , , e ).

Passo 5

Convertendo para coordenadas cilíndricas:
Substituindo na expressão do fluxo:
Simplificando:
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 6

Calculando as integrais em :
  1. (pois integral de de a é zero).
  2. (pois integral de de a também é zero).
Portanto, .

Passo 7

Fluxo nas Bases Superior e Inferior:
Vamos agora calcular o fluxo nas bases:
  • Base Inferior ( ):
    O vetor normal aponta para baixo, então .
    .
    Então,
  • Base Superior ( ):
    O vetor normal aponta para cima, então .
    .
    Então,

Passo 8

Vamos calcular :
Portanto, o fluxo total através das bases também é zero.

Passo 9

Conclusão:
Somando os fluxos das superfícies lateral, inferior e superior:

Resposta

A vazão para fora do cilindro é zero.

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