Um fluido tem densidade
e escoa com velocidade
, onde
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: O exercício trata de fluxo de um fluido com densidade
que está escoando com a velocidade
. Precisamos encontrar a vazão para fora de um cilindro definido por
e
. Vamos usar conceitos de cálculo de fluxo por uma superfície fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a vazão (
) através de uma superfície fechada é dada pela integral de superfície do produto da densidade pelo vetor velocidade e o vetor normal à superfície:
Aqui,
é a densidade do fluido,
é o vetor velocidade,
é o vetor normal à superfície
, e
é o elemento de área.
Passo 3
Como o cilindro é uma superfície fechada composta pela lateral e pelas duas bases (superfícies superior e inferior), precisamos calcular a contribuição de cada parte:
- Superfície Lateral (
, ) - Base Inferior (
, ) - Base Superior (
, )
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas superfícies.
Passo 4
Fluxo na Superfície Lateral:
Para a lateral do cilindro, o vetor normal
é radial, ou seja:
(since
, o raio
).
O vetor velocidade é
.
O produto escalar
será:
Então, o fluxo através da lateral é:
(Usamos coordenadas cilíndricas onde
,
, e
).
Passo 5
Convertendo para coordenadas cilíndricas:
Substituindo na expressão do fluxo:
Simplificando:
Agora, vamos integrar em relação a
.
Passo 6
Calculando as integrais em
:
-
(pois integral de de a é zero). -
(pois integral de de a também é zero).
Portanto,
.
Passo 7
Fluxo nas Bases Superior e Inferior:
Vamos agora calcular o fluxo nas bases:
-
Base Inferior (
): O vetor normal aponta para baixo, então. . Então, -
Base Superior (
): O vetor normal aponta para cima, então. . Então,
Passo 8
Vamos calcular
:
Portanto, o fluxo total através das bases também é zero.
Passo 9
Conclusão:
Somando os fluxos das superfícies lateral, inferior e superior:
Resposta
A vazão para fora do cilindro é zero.
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