Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F e superfície orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
27. F(x, y, z)=x i+2 y j+3 z k, S é o cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de fluxo através de uma superfície. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F = x i + 2y j + 3z k sobre o cubo S com vértices em (pm 1, pm 1, pm 1). Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? Ele nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Basicamente, ao invés de calcular a integral sobre todas as faces do cubo, a gente pode calcular a integral da divergência do campo vetorial dentro do volume do cubo. Isso costuma ser mais simples.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo:
F(x, y, z) = x i + 2y j + 3z k
Então,
nabla cdot F = partial xpartial x + partial 2ypartial y + partial 3zpartial z = 1 + 2 + 3 = 6

Passo 4

Agora que temos a divergência constante igual a 6, vamos aplicar o Teorema da Divergência. A integral de superfície se transforma em uma integral de volume:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV

Passo 5

Vamos calcular a integral de volume. Nosso cubo S tem lados de comprimento 2 (de -1 a 1 em cada direção), então o volume V é:
V = 2 times 2 times 2 = 8
Como a divergência é constante (6), a integral fica:
integral triplaV 6 , dV = 6 times V = 6 times 8 = 48

Resposta

O fluxo de F através do cubo S é 48.

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