Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e superfície orientada
. Em outras palavras, determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
27.
é o cubo com vértices
.
27.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de fluxo através de uma superfície. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície
para o campo vetorial
sobre o cubo
com vértices em
. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? Ele nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Basicamente, ao invés de calcular a integral sobre todas as faces do cubo, a gente pode calcular a integral da divergência do campo vetorial dentro do volume do cubo. Isso costuma ser mais simples.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Para o nosso campo:
Então,
Passo 4
Agora que temos a divergência constante igual a 6, vamos aplicar o Teorema da Divergência. A integral de superfície se transforma em uma integral de volume:
Passo 5
Vamos calcular a integral de volume. Nosso cubo
tem lados de comprimento 2 (de -1 a 1 em cada direção), então o volume
é:
Como a divergência é constante (6), a integral fica:
Resposta
O fluxo de
através do cubo
é 48.