Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25 que está acima do plano z = 4. Se S tiver densidade constante k, encontre (a) o centro de massa e (b) o momento de inércia em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma parte de uma esfera dada pela equação que está acima do plano . Essa parte da esfera tem densidade constante . Precisamos encontrar duas coisas:
(a) O centro de massa dessa parte da esfera.
(b) O momento de inércia em torno do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria sólida e cálculo, especialmente integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A equação da esfera é , o que significa que temos uma esfera com raio . O plano corta essa esfera, e queremos a parte que está acima desse plano, ou seja, um coroa esférica.

Passo 3

Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas . Devido à simetria da esfera, sabemos que e , já que a massa está distribuída igualmente ao redor dos eixos e . Então, só precisamos encontrar .

Passo 4

O centro de massa é dado por:
Como a densidade é constante , ela se cancela na razão. Portanto, precisamos calcular a média do valor de sobre a superfície .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Na esfera, , e o elemento de área em coordenadas esféricas é . Nosso raio .

Passo 6

Precisamos determinar os limites de integração. Como o plano é , temos:
Portanto, varia de a , e varia de a .

Passo 7

Vamos calcular o numerador :
Integrando em :
Aplicando os limites:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular o denominador :
Integramos em :
Aplicando os limites:
Então:

Passo 9

Agora, podemos encontrar :

Passo 10

Então, o centro de massa tem coordenadas .

Resposta

(a) O centro de massa da parte da esfera é .

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