Seja a parte da esfera que está acima do plano . Se tiver densidade constante , encontre (a) o centro de massa e (b) o momento de inércia em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma parte de uma esfera dada pela equação que está acima do plano . Essa parte da esfera tem densidade constante . Precisamos encontrar duas coisas:
(a) O centro de massa dessa parte da esfera.
(b) O momento de inércia em torno do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria sólida e cálculo, especialmente integração em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A equação da esfera é , o que significa que temos uma esfera com raio . O plano corta essa esfera, e queremos a parte que está acima desse plano, ou seja, um coroa esférica.
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas . Devido à simetria da esfera, sabemos que e , já que a massa está distribuída igualmente ao redor dos eixos e . Então, só precisamos encontrar .
Passo 4
O centro de massa é dado por:
Como a densidade é constante , ela se cancela na razão. Portanto, precisamos calcular a média do valor de sobre a superfície .
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Na esfera, , e o elemento de área em coordenadas esféricas é . Nosso raio .
Passo 6
Precisamos determinar os limites de integração. Como o plano é , temos: