Determine o centro de massa do hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2, z ≥ 0, se ele tiver densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o centro de massa de um hemisfério definido pela equação com e densidade constante. Para isso, vamos usar princípios de Cálculo Integral e Geometria Espacial. Precisamos entender como calcular o centro de massa usando integrais para regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um objeto com densidade constante é dado por:
onde é o volume do objeto e é um elemento de volume.

Passo 3

Observando o hemisfério, percebemos que ele é simétrico em relação aos eixos e . Isso significa que as coordenadas e serão iguais a zero, pois as contribuições positivas e negativas se cancelam. Portanto, só precisamos encontrar .

Passo 4

Vamos calcular o volume do hemisfério. O volume de uma esfera completa é , então o volume do hemisfério será metade disso:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Os limites de integração serão:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente:
Multiplicando os resultados:

Passo 8

Agora, podemos encontrar :

Resposta

O centro de massa do hemisfério é .

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