Determine o centro de massa do hemisfério
,
, se ele tiver densidade constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o centro de massa de um hemisfério definido pela equação
com
e densidade constante. Para isso, vamos usar princípios de Cálculo Integral e Geometria Espacial. Precisamos entender como calcular o centro de massa usando integrais para regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa
de um objeto com densidade constante é dado por:
onde
é o volume do objeto e
é um elemento de volume.
Passo 3
Observando o hemisfério, percebemos que ele é simétrico em relação aos eixos
e
. Isso significa que as coordenadas
e
serão iguais a zero, pois as contribuições positivas e negativas se cancelam. Portanto, só precisamos encontrar
.
Passo 4
Vamos calcular o volume
do hemisfério. O volume de uma esfera completa é
, então o volume do hemisfério será metade disso:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Os limites de integração serão:
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente:
Multiplicando os resultados:
Passo 8
Agora, podemos encontrar
:
Resposta
O centro de massa do hemisfério é
.